-
6 20斜面上の物体の運動と慣性力 [2020 国公立]
図のように, 水平な床の上に質量 M, 傾斜角 0
(ただし, 0°090°) をもつ直角三角形の台を置い
た。 その台の斜面上に質量mの小物体を置いたとき
の, 小物体と台の運動を考える。 小物体は質点として
扱うことができ, 小物体と台の空気抵抗は無視できる
ものとする。 また, 小物体と台の間に摩擦はないもの
小物体 (質量m)
とする。 重力加速度の大きさをgとしたとき, 次の問いに答えよ。
[A]
(質量)
(1)
床
[A] まず, 床の上を動かないように台を固定した。台の斜面上の, 床から高さんの位置
に小物体を静かに置いたところ, 小物体が斜面をすべり落ちた。
(1)台の斜面にそった方向の, 小物体の加速度の大きさを求めよ。
(2) 小物体が台の斜面をすべり落ち始めてから床に到達するまでの時間をとする。
をg,h, 0 を用いて表せ。
[B] 次に, 台を床に固定しない場合を考える。 ここで, 台と床の間に摩擦はないものと
する。 静止した台の斜面上の, 床から高さんの位置に小物体を静かに置いたところ,
小物体が斜面をすべり落ち, 同時に台が水平右向きに運動を始めた。 床から見た台の
加速度の大きさをAとする。 このとき, 台の上にいる観測者には, 小物体に台の運動
による慣性力がはたらいているように見える。 慣性力の大きさはmAと書くことがで
その向きは台の運動とは反対の水平左向きになる。 この慣性力を用いて, 台と小
物体それぞれの運動を考えることにしよう。 ただし, 台の上にいる観測者は,台や小
物体の運動に影響を与えないものとする。
(3)台の上にいる観測者から見ると, 台の斜面に対して垂直な方向では小物体にはた
らく力がつりあっている。 台が小物体に与える垂直抗力の大きさをNとしたとき,
慣性力を考慮した力のつりあいの式を N, m, A, g, 0 を用いて表せ。
(4)台の上にいる観測者から見ると,台の斜面にそった方向では小物体が等加速度運
動をしている。台の上にいる観測者から見た小物体の加速度の大きさをαとして
慣性力を考慮した小物体の運動方程式をm, A, a, g, 0 を用いて表せ。 ただし,
斜面をすべり落ちる向きを正の向きとする。
(5)床にいる観測者から見たときの台の運動方程式をN, M, A, g, 0 のうち必要な
ものを用いて表せ。 ただし, 水平右向きを正の向きとする。
(6)(3)から(5) 導出した3つの式を連立させて解くことでN, A, a のそれぞれを
M,m,g, 0 のうち必要なものを用いて表せ。
(7) 小物体が台の斜面をすべり落ち始めてから床に到達するまでの時間とする。
2をM,m,g,h, 0 を用いて表せ。
(2)求めたと比較し,両者の関係を答えよ。 なとの間に, 等号もしく
は不等号を用いて表すこと。
Ingsin
Jo
mg coso
mg
(1)ぬα=mgsm
〆=gsino
(2)
小物体がすべるキョリは5mg
x=mot+/atより、
2
simp=1/2gsingti
[B]
=
2h
Jsin
2h
gsino