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重要 例題 224 区間に文字を含む3次関数の最大・最小
f(x)=x-6x2+ 9x とする。 区間 a≦x≦a+1 における f(x) の最大値
求めよ。
指針 この例題は, 区間の幅が1 (一定) で, 区間が動くタイプである。
00000
M() を
基本200
まず, y=f(x) のグラフをかく。次に, 区間 a≦x≦at1をx軸上で左側から移動し
ながら, f(x) の最大値を考える。
場合分けをするときは,次のことに注意する。
A 区間で単調増加なら, 区間の右端で最大。
区間で単調減少なら, 区間の左端で最大。
両極値をとるxの値がともに区間に含まれることはないから
© 区間内に極大となるxの値があるとき,極大となるxで最大。
>0 (8)
区間内に極小となるxの値があるとき, 区間の両端のうちf(x)の値が大きい方
で最大→区間の両端で値が等しくなる場合が境目となる。 すなわち
f(x)=f(a+1) となるとαの大小により場合分け。
A
最大
®
(1)M
最大
最大
[2] a<1ma+
0≦a <1のと
f(x)はx=1
M(a)=1
次に, 2 <α <3
f(a)=f(a+1)
a3-6a2+▪
3a²
ゆえに
よって
a=
2 <α <3と5<
[3] 1≦a<
f(x)はx=
M(a)=
解答
最大
または
9+√33
[4] 6
f(x)はx=
M(a)
f'(x)=3x²-12x+9
=3(x-1)(x-3)
f'(x) = 0 とすると
x=1,3
f(x) の増減表は次のようになる。
x
1
f'(x) + 0 -
3
f(x)
解答の場合分けの位置のイ
y=f(x)メージ
以上から
4---
y=f(x)|
4
NN
[2] [3]
[4]
0 +
極大|
極小
01
3
a01
a 3a+1 x
4
0
検討
よって, y=f(x)のグラフは右上の図のようになる。
ゆえに、f(x)のa≦x≦a+1における最大値 M (α) は,次
のようになる。
[1] a+1 <1 すなわち α <0の
[1] y
とき
f(x)はx=α+1で最大となり
1指針のA [区間で単調増
加で,右端で最大]の場
最大
合。
M(a)
=f(a+1)
=(a+1)-6(a+1)^+9(a+1)
=a³-3a²+4
1
1
a O 1
a+1
3
3次関数のク
p.344 の参考
ラフは点対
はない。す
るとき
対称ではな
練習
|上の解答の
=1/2とし
Q=
なお、放物
f(x)=x³-
⑤224よ。
