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例題27 グラフの概形と漸近線の方程式
関数 y=x+1+√x2+1 の極値, 凹凸などを調べ、そのグラフの概形をかけ。
また、漸近線の方程式を求めよ。
考え方 関数 y=f(x) のグラフの漸近線
(i) y 軸に平行な漸近線
lim_f(x), lim_f(x) の少なくとも一方が∞, または∞のとき,直線
x-a-0
xQ+0
x=α は漸近線である。
(ii) y 軸に平行でない漸近線
lim{f(x)-(ax+b)}=0 または lim {f(x)-(ax+b)}= 0 となる α, bがあ
x→∞
るとき, 直線 y=ax+b は漸近線であり, α, 6は,次の式で求められる。
f(x)
lim -=α, lim {f(x)-ax}=6 (複号同順)
→ ±00
XC
x±0
解
y'=1+
x
√x2+1
x2+1+x
>0)
x²+1
x2+1-x.
XC
√x2+1
x2+1
x2+1-x2
(x2+1)x2+1
->0 ?
(x2+1)√x2+1
したがって, yはつねに増加し, グラフは下に凸である。
x→∞のとき, 漸近線の方程式を y=ax+b とすると,
nx+1+x+1=tim (1+1/+1+1=2
a=lim
→∞
x
b=lim(y-2x)=lim(x+1+√x2+1-2x) = lim (1+√x2+1-x)
x→∞
=lim 1+1
x→00
→00
x2+1-x2
x→ ∞
=lim(1+
1
x2+1+x.
x→00
√x2+1+x1
また, x→∞ のとき, t=-x とすると,
J=1
lim_y= lim (x+1+√x2+1)
=lim(-t+1+√2+1)
→∞
-2t
=lim
t+1-vt2+1
2
2
=lim
=1
1
y=1
1- + 1 +
1
よって, 漸近線の方程式は、
y=2x+1,y=1
10
グラフは右の図のようになる。
y=2x+1
