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7)
a
このとき, 直線 ①と両座標軸との交点の座標
(2,0), (0,2b)であり,Sの最小値は2
る。
184
■指針
2ab Ta
(1) 球の中心を通り、底面に垂直な平面で
円錐を切ってできる切り口の三角形を考え
る。
円錐の頂点と球の中心の距離をxとし
円錐の体積をxを用いて表す。
(2)表面積を体積を表す式で表すことができ
(1)の結果が利用できる。
(1) 球の中心を0とし,
0を通り底面に垂直な
平面で直円錐を切って
できる切り口の三角形
を △ABC とする。
A
x
...
ア
3r
dV
0
dx
V
583
+
よって,Vは x=3rで最小値 / ara をとる。
別解 [②までは,本解と同じ]
(x+r2=(x-r)2+4rx
であるから
V=
=(x-r2+4mx-r) +42
x²(x+r)²
3(x-r)
ar2 (x-r2+4nx-r) +42
3
x-r
2
==
(x-r) +
4r2
3
+4rs
x-r
また, 球の切り口の円
D
との接点を図のように
D, E とする。
0
OA = x とすると, x
はより大きいすべて
の実数をとりうる。
V≧
B
① より xr>0であるから,相加平均と相乗平
均の大小関係により
123 (2√√(x-7). Ar²+4)=3
472
8
x-r
E
881
4r2
等号が成り立つのは,x-r=
すなわち
x-r
よってxr
△ABE △AOD であるから
BE:r=(x+r): √x2-22
BE: OD=AE: AD
すなわち
よって
ゆえに
BE=
√√x²-72
BE√x2=(x+r)
(x+r)
直円錐の体積をVとすると
(x-r2=4r2 のときである。
xr>0であるから
よって
x=3r
x-r=2r
ゆえに,Vはx=3yで最小値 / ara をとる。 T
(2)直円錐の表面積を S
とすると
S=7. BE² DES
+1/2AB
AB 2TBE
2π BE
V=BE². AE
=BE (BE+AB)
0=
AB、
ここで,
mx+r) 2
(x+r)
BE: OD=AB: AO
2
y2(x+2)2
=
3(x-r)
dV
dx
3
[側面の展開図]
であるから
->
(x>r)
22(x+r)(x-1)(x+r2.1
AO
AB= ・BE
OD
よってAB=BE
(x-2)²
r
ゆえにS=BEBE+BE)=xBE (1+-)
r
2(x+r)(x-3)
3(x-r2
xにおいて,
dv
= 0 とすると
x=3y
dx
①の範囲におけるVの増減表は次のようになる
r(x+r) 2
=π
Tr(x+1)²
3.
x-r
r
(+1)
(1) から, Sはx=3rで最小値
をとる。
38
r
18
.
TY
r² = 8 x²
