2・17 x を実数,nを自然数とする. 次の問に答えよ.
(1) 1-2^x+..+(-1) n-12-2
の和を求めよ.
-1/2 + 1/3 - 11/17 + ··
3 5
とする. このとき, 等式
1
1
Sn=So 12 dz-(-1)" So 1+2 dz
-dx
201+x2
(2) S=1-
が成り立つことを示せ.
(3) 定積分 1 1
0
(5) lim S を求めよ.
7118
(4) 次の不等式を示せ .
x²n
os So 1+2²
.2
- + ··· + (−1)ª −¹ .—
-dx を求めよ.
=
-dx≦
1
2n-1
1
2n+1
(05 静岡大・理,情, 工後)
2・17
積分と極限
今までの総復習のような問題です. (5) は 「はさみう
ちの原理」を使います。
部
月 (1) 求める和は,初項 1,公比 -x2, 項数n
の等比数列の和であり, -x2≠1 であるから,
1-x²+x²-x6+...+(-1)n-1x2n-2
1-(-x2)”_1- (-1) nxin
1-(-x²)
1+x2
(2) ① を辺々をxで0から1まで積分すると、
S'' (1-x² + x¹-x³ + ... + (−1)n-1p²n-2) dx
= 1+ 2²
11-(-1)*xx2n
1
1
-
+
3 5
-
S
7
1
=S₁² =²²dx-(-1)" S. ².
T
1+x2
-dx
1
1+x²
+...+(
・+(-1)-1.
1+x2
よって,題意は示された.
(3) x=tan0 と置くと, dx=
1 x2n
-dx
:. Sn=
S₂ = ₁² ₁²d²-(-1)=√ 1²7 dz.
-dx=S₁
(4) 0≦x≦1のとき,
x²n
0≤- -S-
x²n
1+x² 1+0
=[**d-*
-=x²n
1
cos ²0
x2n
1+x2
よって,題意は成り立つ。
x²n
1+x2
1
2n-1
T
1
1
os f -dx≤₁x²³¹dx=-
-dx
1+tan 20 cos20
-d0 であるから,
-do
1
2n+1