22
基本 例題 79
共役複素数の性質(2)
定数αは複素数とする。共
00000
(1) 任意の複素数zに対して,zz+az + az は実数であることを示せ
[(1)岡山大〕
(2) αz が実数でない複素数 z に対して, az-az は純虚数であることを示せ。
CHART & SOLUTION
複素数の実数,純虚数条件 共役複素数を利用
2 が数
p.417 基本事項 3 基本 78 重要 83
zが純数 ただし,z0
(1) w=zz+az+αz とおいて,w=w を示す。
morujo
24
複素数平
るかが
4点
z=a+
である
これか
解答
v=az-az とおいて,v=v かつ v0 を示す。
S-01=sS+sal (1)
(1)w=zz+az+αz とする。
両辺の共役複素数を考えると
①
となる
複素
z=a
Z
w=zz+az+az
Zi
ここで (右辺)=zz+az+az=zz+αz+az
=zz+az+αz=w
6+01
したがって, w=w であるから, zz+αz+αz は実数であ
共役複素数の性質を利用。
α, β を複素数とすると
α+β=a+β, a=α
の
る。
0=b
(別解
(1までは上と同じ)
(z+a)(z+α)=zz+az+az+ad から
w=(z+a)(z+α)-a
=(z+a)(z+α)-α aa
=2+a2-a²
|| を用いた別解。
0=b+5+
0=b+00
+wo+ (z+α|aはともに実
したがって,zz+az+αz は実数である。野党数である。
v=az-az とする。
αz が実数ではないから
よって azaz
azaz
ゆえに
azaz≠0
az 実数
⇔ az = az
すなわち v≠0
v=azaz の両辺の共役複素数を考えるとv=az-az
ここで (右辺)=az-az=-az+az=-v
したがって, v=v かつ v≠0 であるから, az-azは
純虚数である。
PRACTICE
79
であるから,
αz が実数でない
⇔azaz
(1) zz=1 のとき, z+ は実数であることを示せ。
2
[類 琉球大〕
2が実数でない複素数zに対して,(Z)は純虚数であることを示せ。
2
