重要 例題 179
量と積分
00000
で水を注いだときの、水の体積をVとする。 Vをんの式で表せ。
(2) (1)の容器に単位時間あたり2の割合で水を注ぐとき, 水の体積がとな
(1) 曲線 y=ex をy軸の周りに1回転してできる容器に深さがんになるま
った瞬間の水面の上昇する速さを求めよ。
CHART & SOLUTION
(1) Vは回転体の体積。
π
重要 107 基本 168,176
y y=ex²
深さん→座標ではん+1であることに注意。
h+1
(2) 水面の上昇する速さ→
dh
dt
h
グラフは
y 軸に関
ん を で表すのは難しそうなので,
dvdvdh
して対称
=
dt dh dt
0
x
利用して求める。
解答
(1) y=ex2 から
よって
x2=logy
Ch+1
= x²dy=logydy
V=π
x [yl
=πylogy-y
1h+1
11
=z{(n+1)log(n+1)-(n+1)-(log1-1)}
={(n+1)log(h+1)-h}
(2)V=πのとき (1) から
ん+1>0 であるから
(h+1)log (h+1)−h=1
log(h+1)=1
dV
dh+1
よって意
dh
dh
Non Shilogydy)
==лlog (h+1)=π
081
Slogxdx
=xlogx-x+C
1
V
dv_dv.
dh
dh 2
=
-=2から
s
00
dt dh dt
dt
π
x
