122.1.イ 記述これでも良いですか？ また、記述問題だとしても（mod12で8^2 ≡4と8^4≡4より2k乗とした）解説の方法で解いて良いのですか？ （8^2 ≡4と8^4≡4より感覚的にはmod12で8の2k乗≡4は分かるけど2つの例だけで2k乗とおくのは証明が不足... 続きを読む

は る)。 D a うる。 る。 ) pk k 2 2 演習 例題 122 合同式の利用・・・ 累乗の数の余り 合同式を利用して,次のものを求めよ。 ア) 13100 9で割った余り (イ) 20002000を12で割った余り [(イ) 早稲田大〕 (2) 472011 の一の位の数 (2) 類 自治医大] 指針 乗法に関する次の性質を利用する。 a=b (mod m), c=d (mod m) のとき 3ac=bd (mod m) (1) 累乗の数に関する余りの問題では、余りの周期性に着目することがポイントである。 また、合同式を利用して、 指数の底を小さくしてから, 周期性を調べると計算がらくに なる。 ･･････ 注意 α” のα を指数の底という。 解答 (1) (ア) 134 (mod9) であり 4² 16 7 (mod 9), 4°=64=1 (mod 9 ) ゆえに |42100=4.(43)=4 (mod9) 特に,a=1 (mod m) となるようなnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。 (2) ある自然数Nの一の位の数は, N10で割ったときの余りに等しい。 したがって, 10 を法とする剰余系を利用する。 CHART 累乗の数を割った余りの問題 余りの周期性に注目 よって したがって 求める余りは 4 13100=4100=4 (mod9 ) 4 自然数nに対し α"=6" (mod m) (イ) 2000=8 (mod12) であり 8°=8.4=8 (mod 12), ゆえに,kを自然数とすると よって 82=64=4 (mod 12), 8'=(82)=42=4(mod 12) 82k4 (mod12) 20002000=820004 (mod12) したがって 求める余りは (2) 477 (mod10) であり 7³ 9-7=3 (mod 10), ゆえに よって 472011 720113 (mod10) したがって 47 2011 の一の位の数は 7 72 49=9 (mod 10), 7=92=1 (mod 10) 72011 (74) 502.73 1502.3=1-3=3 (mod 10) 00000 p.492 基本事項 [③3] 3 次のものを求めよ｡ 13-49 であるから, 13 と4は9を法として合同で あることに着目し, 4 に関 する余りを調べる。 132, 13 を9で割った余り を調べてもよいが, 一般に 42 4の方がらく。 2000" の計算は面倒。 2000 12で割った余りは 8 であるから 2000 と8は 12 を法として合同。 したがって, 8" に関する余 りを調べる。 47=10・4+7 2011=4・502+3 15245 (イ) 30003000 を14で割った余り 495 4章 19 発展合同式 る｡ る。 2) -1) でる たと は、 は, な 満 3進

122.1.ア 記述これでも大丈夫ですか？？

は る)。 D a ある。 pk k 2 2 演習 例題 122 合同式の利用… 累乗の数の余り 合同式を利用して,次のものを求めよ。 (1)(ア) 13109で割った余り (イ) 20002000を12で割った余り[(イ) 早稲田大〕 (2) 472011 の一の位の数 [(2) 類 自治医大 ] p.492 基本事項 ③3 指針 乗法に関する次の性質を利用する。 a=b (mod m), c=d (modm) のとき 3 ac=bd (mod m) 法則 (1) 累乗の数に関する余りの問題では、余りの周期性に着目することがポイントである。 また, 合同式を利用して,指数の底を小さくしてから,周期性を調べると計算がらくに 注意 α” のα を指数の底という。 なる。 特に, an≡1(mod m) となるようなnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。 ESTAH I 11 (2) ある自然数 N の一の位の数は,Nを10で割ったときの余りに等しい。したがって, 10 を法とする剰余系を利用する。 CHART 累乗の数を割った余りの問題 余りの周期性に注目 ...... 4 自然数nに対し a"=6"(mod m) (ア) 13 4 (mod 9) であり 42=167 (mod 9), 43=64=1 (mod 9 ) ゆえに 41004 (43)33=4(mod9 ) よって13100=41004 (mod9) したがって 求める余りは 4 (イ) 20008 (mod 12) であり 8³ 8.4 8 (mod 12), ゆえに,kを自然数とすると よって したがって、求める余りは 4 477 (mod 10) であり 7³ 9.7 3 (mod 10), 羽 8²=64=4 (mod 12), 84≡(82)2=424(mod 12) 82k=4 (mod12) 20002000 82000=4 (mod 12) 72=49=9 (mod 10), 74=92=1 (mod 10 ) ゆえに よって 72011 (74) 502.73=1502･3=1.3=3 (mod 10) 472011=72011=3 (mod 10) したがって 472011 の一の位の数は 3 CHARO-[0] 13-4=9であるから 13 と4は9を法として合同で あることに着目し, 4” に関 する余りを調べる。 132, 13 を9で割った余り を調べてもよいが, 一般に 42 43 の方がらく。 合同式を利用して、 次のものを求めよ。 2000" の計算は面倒。 2000を12で割った余りは 8であるから, 2000 と8は 12 を法として合同。 したがって, 8" に関する余 りを調べる。 <47=10・4+7 2011=4・502+3 割った余り (イ) 30003000 を14で割った余り BST 495 4章 19 発展合同式 U る。 いる。 2) -1) でる にと は, は, う。 な 満 進 いう。

modを使わない求め方を教えてほしいです。お願いします。

171 (1) nが整数のとき､nは5の倍数であることを証明せよ。 (2) n2で割ると1余る整数のとき, ²-1は8の倍数であることを証明せ よ。 (3) nが2で割ると1余る整数のとき, nnは120の倍数であることを証明 せよ｡

(2)です解答のように±のように両方考えないとダメなんですか？＋の場合だけでも示すことてできないんですか?

143 整数 a2+b2=c をみたす自然数a, b, c について,次の問いに答えよ. ① 自然数a,b,cのうち、少なくとも1つは偶数であることを 80+ki+E)= 示せ. (2) 自然数a,b,cのうち, 少なくとも1つは3の倍数であるこ とを示せ.

【数学II】 この問題が分かりません！(1)は余りが-1となったのですが、(2)、(3)の問題が分からないので解説をお願いいたします！

3. 整式 f(x) =x*-x?+1について,次の問いに答えよ。 (1) x をfix)で割ったときの余りを求めよ。 (2) 321 をfしx) で割ったときの余りを求めよ。 (3) 自然数nが3の倍数であるとき,(x°-1}"-1がf(x) で割り切れることを示せ。

⑵の問題で、黄色いマーカーからなんで青い線になるのかがわかりません。 お願いします。

演習 例題12 |台同式を利用して,次のものを求めよ。 CHART 累乗の数を割った余りの問題余りの周期性に注目 累乗の数の余り a (イ) 20002000 を12 で割った余り 【) 早稲田大] ((2) 類自治医大] p.492 基本事項3 =b(mod m), c=d(mod m) のとき 3 ac=bd(mod m) 垂の数に関する余りの問題では,余りの周期性に着目することがポイントである。 今同式を利用して, 指数の底を小さくしてから,周期性を調べると計算がらくに 注意 a"のaを指数の底という。 でお束 4 自然数 nに対し α"=b"(mod m) 法製。 AAHO 10)ある自然数ANの一の位の数は, Nを10 で割ったときの余りに等しい。したがって, なる。 a"=1(mod m) となるようなnが見つかれば, 問題の見通しがかなり良くなる。 10を法とする剰余系を利用する。 解答 )(7) 13=4(mod9) であり 4°=16=7(mod 9), 13-4=9であるから, 13 と4は9を法として合同で あることに着目し,4" に関 する余りを調べる。 133, 13° を9で割った余り を調べてもよいが, 一般に 4°, 4° の方がらく。 |2000"の計算は面倒。 2000 を 12 で割った余りは 8であるから, 2000 と8は 12を法として合同。 4°=64=1(mod 9) 400=4-(4°) =4 (mod9)='S 33 ゆえに よって 13:00=400=4(mod 9) したがって,求める余りは 4 e 0= 0=2 2000=8(mod 12)であり 8°=8-4=8 (mod 12), ゆえに, kを自然数とすると 8°=64=4(mod 12), 8*=(8)°=4°=4(mod 12) 82k=4(mod 12) よって 20002000=82000=4(mod 12) したがって, 8" に関する余 したがって,求める余りは 4 (2) 47=7(mod 10)であり 7=9-7=3(mod 10), りを調べる。 7°=49=9(mod 10), 7=9°=1(mod 10) 720113 (74) 502.78 =1502.3=1·3=3(mod 10) (47=10·4+7 (2011=4·502+3 ゆえに よって 472011=72011=3 (mod 10) したがって,472011 の一の位の数は 3

1番の、アとイの最後がわかりません！ 4の100乗の合同が4になったりするところです！

針> 乗法に関する次の性質を利用する。 (イ) 20002000を12 で割った余り (イ)早稲田大) /0(7) 1300 を9で割った 合同式を 次のものを求めよ。 の余り OO00O | 472011 の一の位の数 [(2) 類自治医大) p.492 基本事項項3 a=b(nod m), c=d(mod m) のとき 3 ac=bd (mod m) 4章 4 自然数 nに対し α"=b" (mod m) 法製。 19 )累乗の数に関する余りの問題では, 余りの周期性に着目することがポイントである。 また,合同式を利用して,指数の底を小さくしてから, 周期性を調べると計算がらくに なる。 注意 a"のaを指数の底 という。 特に,a"=1(mod m) となるようなnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。 (2) ある自然数Nの一の位の数は, Nを10で割ったときの余りに等しい。したがって、 10を法とする剰余系を利用する。 CHART 累乗の数を割った余りの問題:余りの周期性に注目 解答 0(7) 13=4(mod 9) であり 4°=16=7(mod 9), ゆえに 400=4·(4°)=D4 (mod 9)=D' よって1300=4'00=4 (mod 9) したがって,求める余りは 4 (13-4=9 であるから, 13 と4は9を法として合同で あることに着目し,4" に関 する余りを調ベる。 13°, 13 を9で割った余り を調べてもよいが、一般に 0-4, 4° の方がらく。 (2000"の計算は面倒。本 2000 を12 で割った余りは 8であるから,2000 と 8は 12 を法として合同。 4°=64=1 (mod 9) 33 038 0=8 8°=64=4(mod 12), 8*=(8°)==4(mod 12) 82k=4(mod 12) () 2000=8(mod 12) であり 8°=8·4=8(mod 12), g ゆえに,んを自然数とすると 20002000=82000==4 (mod 12) したがって,8" に関する余 りを調べる。 よって したがって,求める余りは 4 2) 47=7(mod 10)であり ド=9·7=3 (mod10), 7*=9=1 (mod 10) ゆえに (47=10·4+7 7°=49=9(mod10), 本茶 1 2011=4·502+3 72011=(7*) 502.73=1502.3=1·3=3 (mod10) 472011=72011=3 (mod10) のから よって 3 したがって、472011の一の位の数は さ 市めよ。 O 面 セ全り 発展 合同式

1枚目の写真、（1）の問題です。 3枚目の写真の解き方で解いたのですが、最後の部分が-23を移行すると+23になってしまい4桁になってしまいます。 解き方を教えて下さい🙇‍♀️🙇‍♀️ お願いします！ ちなみに2枚目は解答です。

第2節 ユークリッドの互除法 165 288 (1) 5 で割ると2余り,14で割ると5余るような自然数のうち, 3桁で最大 のものと最小のものを求めよ。 *(2) 3で割ると1余り,7で割ると3余るような自然数のうち,3桁で最大 のものと最小のものを求めよ。 (3) 8で割ると4余り, 13で割ると9余るような自然数のうち, 4桁で最大 のものと最小のものを求めよ。

[4]の時の考え方がよく分かりません！ 詳しく教えてください！

*104 7ヵは整数とする。 (⑪) ヵ(ヵ十1) が偶数であることを示せ。 (2) z(ヵ填1(2z十1) が6 の倍数であることを示せ。 ⑮) ヵ(⑰ヵ十1)(2z十1)(3Z?二3ヵー1) が30 の倍数であることを示せ。

剰余系が理解できません。 まず剰余系とはどのような原理なのか。 いつどんな時にどのように使うのか。 教えていただきたいです💦