10|第1章 楕円の弧長
1-2
V1+
であるから(34) と比べて
2
1+
(46)
sin p =
COS φ =
であることがわかる. したがって,また
1+2
1
1- sin° ゆ = 21+
(47)
であり,微分式として
0)
(48)
dp =
1+2
も得る。したがって
-2dz
V1+z
dp
(49)
V1-- sin°。
2
故に(46)により cos φ= ¥2z/V1+*
「ー(あ)
C1
dz
V1+
F
2
(50)
なお(42)で定義されるzの意味を考えよう.この式で定義される(x, y)
は考えているレムニスケートの上にあるが, また(42) からわかるように
x+y= 2a1+
(51)
であるから,点(x, y) は
2+° = az(x+y),
(52)
あるいは
az
az
2
az
(53)
の上にある。これは円であって, 中心は(az/2, az/2) にあり, 原点でレムニス
く(カフー、
ケートに接する。えを大きくすると円は大きくなる. を与えたとき, この円
とレムニスケートの原点以外の交点が(42) で定められる点(x,y) なのであ
る(図5参照)。
(ii) いま
n
=1-
とおくと
(54)
(49)