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【文3】
次の問いに答えよ.
(2) xを3の倍数でない自然数とする.x を9で割ったときの余りを求めよ.
(1) t の2次方程式(a-1)t + α² - a = 0 が実数解をもつような実数aの値の範囲を求めよ.
(50点)
(3)
x,yを3の倍数でない自然数とする. x+y=3' を満たすx, y が存在するような自然数を求めよ.
考え方
(1) 2次方程式の判別式を利用します.
(2)xを3で割った余りに注目して場合分けをします.
(3) (2)の結果から,x=3m +1.y=3n-1として考えればよいです。左辺を因数分解したときの因数が3以外の墓
因数をもたないことに注目して必要条件を考えます。その後, (1) の結果を用いればx,yの値を求めることができ
ます.
【解答】
(1) (a-1)t + α-α = 0 の判別式をDとすると,実数解をもつための条
件はD≧0であるから
(a-1)² - 4(a²-a) ≥ 0
34²-2a-1≦0
(答)
-sası
(2)は3の倍数でない自然数であるから、 次の(i), (ii) のいずれかの場合を考
えればよい.
(i) x=3k+1 (kは0以上の整数)のとき
x³ = (3k + 1)³
= 27k³+27k² +9k +1
= 9(3k³ +3k² + k)+1
より xを9で割った余りは1である.
(ii) x=3k-1 (kは1以上の整数)のとき
x=(3k-1)3
= 27k³-27k² +9k-1
=9(3k² -3k²+k-1) +8
より, xを9で割った余りは8である.
(i),(ii)より,xを9で割った余りは
「xを3で割った余りが1のとき1
(答)
lxを3で割った余りが2のとき8
( 3Xi) p=1のとき
(x,y)=(1,1)であれば
x³+y³ = 2
(x,y) キ (1,1) であれば
x+y≧13+2=9
よって, x+y=3を満たす自然数x, y は存在しない.
(ii) p2 のとき
3Pは9の倍数であるから, x+y も9の倍数である.x, yに関する条
件の対称性と (2) の結果から
x=3m+1,y=3n-1 (m,nは整数, m≧0.n≧1)
として考えても一般性を失わない.
一数32-
← 【解説】 1° 2°
◆ 【解説】 3°
これ
3P
3
(1
1
