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第3章 図形と式
基礎問
第3章
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46 軌跡(IV)
58
放物線y=x^2-2x+1 と直線 y=mx について,次の問いに
答えよ.
上の飲物線と直線が異なる2点P,Qで変わるための
囲を求めよ.
(2) 線分 PQ の中点Mの座標をm で表せ
nの
(3)m が(1)で求めた範囲を動くとき, 点Mの軌跡を求めよ.
(1) 放物線と直線の位置関係は, 連立させてyを消去した2次
式の判別式を考えます.
「異なる2点とかいてあるので, 判別式≧0 ではありません .
(2) (1) 2次方程式の2解がPとQのx座標ですが, m を含んだ式にない
2解をα,Bとおいて,解と係数の関係を利用した方が計算がラクで
(3)(1)において,m に範囲がついている点に注意します.
(4)
解 答
y=x²-2x+1
①y=mx ②
(1)①,②より,yを消去して, x-m+2)x+1=0 .....③
③は異なる2つの実数解をもつので,
注
a+β
a+m+2 +2.....
⑤
M ( m +2 m'.1.2m)
2
(3)⑤よりm=2x2
④に代入して,y=x(2x-2)
ここで, (1)より,m<-4,0<m だから,
2x-2<-4,0<2x-2
すなわち, x<-1, 1 <x
以上のことより, 求める軌跡は放物線の一部で、
y=2x²-2x (x <-1, 1<x)
参考
M を だけの式で
表せた
いつでもæに範囲がつくわけではありません.
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たとえば, 与えられた放物線が y=x²-2x-1 であったら,
判別式 = (m+2)2 +4>0 となり, mに範囲はつきません.
すなわち、この場合は軌跡のにも範囲がつかないというこ
とです.
ポイント軌跡が放物線のとき, 範囲はにつければよい
y につける必要はない
(1)がなくて, (2)から問題が始まっていたら, 自分で D>0 を作ってmの
とりうる値の範囲を調べる必要があります.
判別式をDとすると,D>0
D=(m+2)2-4 であるから
m²+4m>0
:. m(m+4)>0
. m<-4, 0<m
(2)③の2解をαβ とすれば,
P(a,ma), Q(B,mβ) とおける.
このとき,M(x, y) とすれば,
y=x²-2x+1
Q
I=-
a+B
2y=
m(a+β)
M
2
=mx......④
P
0
a+β=m+2 だから
α 1
y=mx
ここで,解と係数の関係より
演習問題 46
放物線y=x-2tz+12+4t-4 ......① がある.
(1) ① が放物線y=-x+3x-2 と共有点をもつようなtの範囲
を求めよ.
(2) tが(1)で求めた範囲を動くとき,①の頂点のえがく軌跡を求め
