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数学 高校生

現高3問題はスタサプの一応数Ⅰ・Aについてです。 学校の課題として出ているものなのですが、先生からの指摘で途中式が抜けているとのこと。 数が多くて申し訳ないのですが、詳しい途中式で解説をお願いいたします!

2 [1] >1 とする. 2次方程式kx2+(1-2k)x-2=0の2つの解を α,β とする.2 次方程式x-2(k+1)x+4k=0の解の1つはβであり、もう1つの解をとす る. (1) β を求めよ. (2) β-a=y-βが成り立つとき,kの値を求めよ. (1) kx²+(1-2k)x-2=0 より (kx+1)(x-2)=0 1 k>1より x=- 2 これらがα β x2-2(k+1)x+4k=0 より よって x=2k, 2 これらが β, Y (x-2k)(x-2)=0 よって β=2 (2)(1)より Q=- 1 k' y=2k β-α=y-β より α+y=2β よって 1 +2k=4 k 2k2-4k-1=0 k>1よりk=2+26 2 [2] 実数xの方程式x²- (k-1)x-k=0とx2-2kx+k=0がただ1つの共通解 を持つとき,kの値を求めよ. また, それぞれのkに対応する共通解を求めよ. x2-(k-1)x-k2=0 ...... ① ①と② が共通解αをもつとき α2-(k-1)a-k2=0 ③ ④ より (k+1)a-k-k=0 よってk=-1,a=k x2-2kx+k=0 ......② α2-2ka+k=0 ④ (k+1)a-k(k+1)=0 (k+1)(a-k)=0 k=-1のとき ① ② はともにx2+2x-1=0 となる. この2次方程式の判別式をDとすると, D=12-1(−1)=2>0 よって①と②は共通な実数解を2つもち,不適 α=kのとき ③より k2-(k-1)k-k2=0 (k-1)k=0 よってk=0, 1 k=0のとき ① より x2+x = 0 ②よりx2=0 よって①と②は共通解x=0をただ1つもつ k=1のとき ① より x2-1=0 ② より x2-2x+1=0 よって①と②は共通解x=1をただ1つもつ. 以上より k = 0 のとき 共通解 x=0 k=1のとき 共通解 x=1

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数学 高校生

sin x /x→1の証明について 円を用いた面積比較からのはさみうちを使って証明する方法(一枚目)が有名ですが、微分係数の定義に当てはめる(二枚目)のはダメなんでしょうか? sin xのグラフの原点の傾きという意味なのですごく単純です

[証明] とし,∠ABC = 0 とする.この B 3 のグラ CD lim- 8-082 表しています。 とを を求めよ. かり記憶しておきましょう。 この大小関係は、よく利用されるものなのでしっ y=sin.x 12 0 三角関数に関する極限のうち、最も重要であるのは次の極限です . この定理を用いて, lim sin.x lim 110 I sin.x 1-0 I =1であることを示しましょう. [証明 ] x→0 とするから, 0<|x|<1としてよい。 この公式を証明するための準備として、次の定理の成立を示しておきましょう。 0<x< 10 において, sin.z<x<tanzi sinr<r<tanr の各辺を sin.x(0) で割って, 1<x 1 sinx COS.X ∴. 1> sinx > COS I I 図のように, 半径1の単位円周上に∠AOB=x (x は弧度法の角) となるように2点A, B をとる. lim cos.x=1であるから, はさみうちの原理により +0 このとき面積について, 点Aにおける円の接線と半直線 OB との交点をT とする. B. sinx lim =1 ......① 次に, 2 IC x+0 t< <<0のとき、x=-t とおくと << であるから,①より、 sinx sin(-t) sint IC lim lim- lim- =1 0115 x t+0 -t t+0 t △OAB <扇形 OAB < △OAT が成り立つ. それぞれの面積をx を用いて表すと ①.②より. 1 2 sinr<<tanr 1 2 0-(-x+x) mil lim sinx TC x0 =1 なる.したがって, 0<x<2/27において、 no inil が成り立つ. sinr<r<tang 薫り立つ. (証明終わり) この極限公式は,xが十分に小さい (0に近い)とき, sinx≒x であることを表しています.

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