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基本 例題 155 第2次導関数, 第3次導関数の計算
(1) 次の関数の第2次導関数, 第3次導関数を求めよ。
(ア) y=x^2x3+3x-1
K
元
(イ) y=sin2x
0000
() y=a (a>0, a1)
x-1 <x< の逆関数を y=g(x) とする。 g" (1) の値を求め
π
2
P.265 基本事項
分
微分
微分
y"
m
·y'.
指針 (1)
y
(第1次) 導関数
第2次導関数
第3次導関数
第2次導関数
y=f(x)の高次導関数には,次のような表し方がある。
y", f'(x), f(2) (x),
d2y
dx2
d³y
d2y
dx2
第3次導関数
y", f'(x), f(3) (x)
d³y
d (dy
dx\dx
←
dx³
dx3
ddy
dxdx2
解答
(2) 高校の数学では, y=tanx の逆関数を具体的に求めることはできない。ここでは
y=f(x)=x=f(y) と
(1) (ア) y=x-6x2+3であるから
dy
dx
dy
dx
y=12x12x,y"=24x-12
(イ) y'=cos2x2=2cos 2x であるから
y"-2(-sin 2x)-2=-4sin 2x,
=-4cos2x2=-8cos2x
(ウ)y=a*loga であるから
y"=a*(loga), y=a*(loga)³
を利用し、 まずg'(x) を xです。
(2)逆関数y=g(x) に対し x=g-l(y) すなわち x=tany
.
g'(x) = dy = 1
dr
1
1
y"=(4x³-6x²+3),
y"=(12x²-12x)
y=(2cos2x),
y = (-4sin2x)
Ay"=(a* loga),
y = {ax(loga)"}
g-1(x)=tanx
1
d
=cos2y=
=
1+tan² v
1+r2
-tany=
