足
計算が大変
例題 37 判別式と解と係数の関係
BECKS 8****
を実数とする。 xについての2次方程式 x2+2mx+3m²-5m-3=0
実数解 α, β をもつとき, ' + β2 の最大値と最小値, およびそのときの
mの値を求めよ。
« Re Action 方程式の解の対称式は、 解と係数の関係を用いよ 例題 35
文字を減らす
から
数を決定する。
思考プロセス
m の式
α2+B2 = [
← 解と係数の関係より
Ja+β= (mの式)
↑
lab= (mの式)
最大・最小を求めるためには, mの値の範囲が必要
文字を減らす
解 方程式が実数解をもつから, 判別式をDとすると
D≧0
一つの解を1つの文字
用いて表す。
例題
D
=m²-(3m²-5m-3)
33
4
==
-2m² +5m+3= -(2m+1)(m-3)
1
よって
-
2
2次方程式
α β 実数である条件を
忘れないように注意する。
α とβは 「異なる」 とは
書いていないから, 重解
のときも含まれる。
D≧0 より (2m+1)(m-3)≦0
方程式の2解が α, β であるから,解と係数の関係より
a+β=-2m, aβ=3m²-5m-3
a2+B2 = (a+B)2-2aß
2
= (-2m)² -2(3m² - 5m-3)
= 2m² +10m+6
2
= -2(m-5)²+37
≧m≦3であるから,
2 + B2 は
A+B2
37
2
m
①,② より
2 を求めることで
してm を求めても
しかし、より
ゆえに
する方が容易であ
を求めてから
めている。
をα, α-1とお
[\]
対称式変形をしてから解
と係数の関係を用いる。
75
37
m =
=1のとき
最大値
2
2
2a+1) +8
AJ
1
1
a+10
2
2
m=- のとき 最小値
Point...解の対称式の最大・最小を求める手順 -
121
横軸がm, 縦軸が 2 + β2
!m
であることに注意する。
53
① 実数条件(D≧0やD > 0) から係数に含まれる文字の変域を求める。
② 解と係数の関係を用いて、 解の対称式を係数の文字で表す。
①の範囲で、②の関数の最大・最小をグラフを利用して求める。頭
