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128 図形の通過領域 (2)
重要 例題
直線 y=2tx-f2+1
00000
......
①について、が0に≦1の範囲の値をとって変化す
重要 127
るとき, 直線 ①が通過する領域を図示せよ。
指針 重要例題127と同様, 直線の通過領域を求める問題である。 重要例題 127では,直線
処理できたが,本間のtのとりうる値の範囲には制限 (0≦t≦1) があるため, 判別式だ
y=2ax+αのα がすべての実数値をとって変化するため, 実数解条件 (D≧0)だけで
けで解くことはできない。
しかし、基本的な考え方は同じで 見方を変えて考えればよい。 つまり、 逆像法で
直線 ①が点(x, y) を通る ① を満たす実数t (0≦≦1) が存在する
と考える。 ①をtについて整理すると
P2-2x+y-1=0 ...... ②
よって, tの2次方程式 ② が0≦t≦1 を満たす解を (少なくとも1つ) もつような x,
の条件を求める。
→f(t)=ピ-2xt+y-1とし、放物線 z=f(t) が0≦t≦1の範囲で軸と共有点をも
つような条件を調べる(「チャート式基礎からの数学Ⅰ」のか.214重要例題130 参
照)。
なお,正像法による解答は,次ページの別解のようになる。別解の方法では, 2次関
数の最大・最小の問題として進められる分, 考えやすいかもしれない。
① を tについて整理すると
t2-2x+y-1=0 ......
直線 ①が点 (x, y) を通るための条件は, tの2次方程
式② 0≦ts1の範囲に少なくとも1つの実数解をも
つことである。
すなわち、次の [1]~[3] のいずれかの場合である。
②の判別式をDとし, f(t) =t2-2x+y-1とする。
[1] 0<t<1の範囲にすべての解(*)をもつ場合
条件は
D≧0 から
よって
f(0) > 0から
D≥0, f(0)>0, f(1)>0,
軸が0<t<1の範囲にある
(-x)^-1(y-1) ≧ 0
y≦x2+1
y-1>0
tの2次方程式と考える。
■下に凸の放物線。
軸は直線t=x
(*) 異なる2つの解または
重解。
[1]
解答
ゆえにy>1
[D=0/
f(1)>0 から 1-2x+y-1>0
よってy>2x
D>O
軸は直線t=x であるから 0<x<1
+
+
0
まとめると
y≦x2+1, y> 1, y>2x, 0<x<1
[2]
10
[2] 0<t<1の範囲に解を1つ, t<0または1<tの範
囲にもう1つの解をもつ場合
f(0)f(1) <0から
(y-1)(y-2x)<0
[y>1
ゆえに
Jy<1
または
Ly<
ly>2x
1t
または
