3 漸化式と数学的帰納法 (89)
B1-7
Think
例題 B1.38 漸化式 anti=f(n) an
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a1=1, (n+3)an+1=na で定義される数列{a}の一般項 αを求めよ.
考え方
解答 1 漸化式は an+1=-
an+1=f(n)am となる.
n
n+3 gan と変形できて,f(n=3 とおくとけ
n
ここで,
友
am+1=f(n)ay=f(n){f(n-1)an)=f(n)f(n-1) (f(n-2)and
これをくり返すと, a,+=f(n)f(n-1)f(n-2)(1)a
解答 2 漸化式の両辺に (n+2) (n+1) を掛けると.
(n+3)(n+2)(n+1)az+1= (n+2) (n+1)na となる.
b= (n+2)(n+1)na とおくと, この式は bw+1 = b となる.
an=
1
解答 漸化式を変形して、
n
an+1=
n+3am...... ①
1
1
このとき
a2
2
2
1
1
1+39 4
as=2+3%=2+31+3= 10
n≧4 のとき,①をくり返し用いると,
n+2n+1 n n-T
I
n-1.n-2.n-3.n-4
4321
7654
an
n-1
n+2
-an-1
n-1 n-2
3
2 1
6
•
・1=
n+2n+1
-an-2
n+2 n+1n n(n+1)(n+2)
#2 14
=･･
この式は n=1,2,3のときも成り立つ.
a=1
6
よって, an=
n(n+1)(n+2)
()
1474
第1
