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基本 例題 1563倍角の公式の利用
000
2
5
| 半径1の円に内接する正五角形ABCDE の1辺の長さをαとし, 0=1とする。
(1)等式 sin 30+sin20=0が成り立つことを証明せよ。
(2) cose の値を求めよ。
(4) 線分AC の長さを求めよ。
指針
(3) αの値を求めよ。
0203
[山形大]
P.247 基本事項
(1)30+20=2πであることに着目。 なお, 0 度数法で表すと 72° である。
(2)
(1) は(2)のヒント (1) の等式を2倍角・3倍角の公式を用いて変形する
と,cosの2次方程式を導くことができる。 0<cos0 <1に注意して,その方程式
を解く。
(3),(4)余弦定理を利用する。 (4)では,(2)の方程式も利用するとよい。
0=
(1)=1/2xから
50=2π
よって 30=2π-20 2050=30+20
解答
このとき
sin30=sin (2π-20)=-sin200020
したがって sin 30+ sin20=0
(2)(1) の等式から 3sin 0-4 sin³0+2 sin cos 0=0
sin00であるから, 両辺を sin0 で割って
3-4sin20+2cos0=0
ゆえに
3-4(1-cos20)+2cos0=0
整理して
4cos20+2cos0-1=0
(*)
0 <cos0 <1であるから
-1+√5
cos 0=
4
(3)円の中心をO とすると, OAB において, 余弦定理
により AB2=OA2+OB2-20A・OB cos o
=12+1-2・1・1・ -1+√5 5-√5
a>0であるから
a=AB=
4
2
5-√5
(4)△OACにおいて, 余弦定理により
AC2=OA2+ OC2-2OAOC cos 20
=12+12-2・1・1・cos20=2-2(2cos20-1)
Jeb
3倍角の公式であ
sin30=3sin 0-4sin0
忘れたら, 30=20+0 と
して, 加法定理と2倍角
の公式から導く。
(3)
HOT (S)
a
B
1
1
(4)
O
D
=4-4cos20=4-(1-2cos0)=3+2cose
B
AC > 0 であるから
(2)の(*)から。
0
-1+√5
5+√5
AC= 3+2.
=
2
16
D
[土]
E
E
