441の（2）の整数の問題で、答えは3kとおいて3つで場合分けをしているんですが、私は2つに場合分けしました。 どうして3kとおくんですか？2つでの場合分けは間違っていますか？ 教えてください😭🙇🏻‍♀️

HC LODO □ 441 nは整数とする。 次のことを証明せよ。 (1) ² +7 +4は偶数である。 *(2) n²+1は3の倍数でない。 *(3) 2を6で割ったときの余りは0か1か3か4

最高次の項をXのn乗とおくのはなぜですか？

WEST 考え方 まず, f(x) の最高次の項のみを考える. Check 例題195 関数の決定 xの多項式f(x)の最高次の項の係数は1で,(ローズ) (x-1)f'(x)=2f(x)+8 がつねに成り立つ.このとき f(x) を求めよ. ゆみ BALT ITA また,「つねに成り立つ」とは「恒等式｣ということである. f(x) は定数関数にならないから,最高次の項をx" とお くと, f'(x) の最高次の項は, 3 nxn-1 ・① f'(x)=2x+α と 1 与式に代入すると, (x)^((x-1)(2x+a)=2(x²+ax+b)+8 微分係数と導関数 (a+2)x+(a+2b+8) = 0 .③ ③ がxについての恒等式であるから, (a+2=0, a+26+8=0 a=-2, b=-3 定数関数なら f'(x)=0 より したがって, 与式の左辺の最高次の項は, f(x) = -4 となるが, 40 右辺の最高次の項は, 2x"......② これは題意に反する 与式は恒等式であるから, ①, ② より, nx"=2x" も恒等 式となる. f(x) をn次式とす ると,f'(x) は (n-1) 次式 12+ よって, n=2 これより, f(x) は2次式なので、f(x)=x²+ax+b と 最高次の項の係数 おくと、 (5)5(0-0)S=(1 (理痛のたしたがって TXT 1 f(x)=x²-2x-3 nxn n *** 27 n (x-1) (南山大) 355 ③がつねに成り どんなxに ても③が皮 (-x)左 以上 の +(x) (ロース)係数比較は必 1+(x)0(-x)S-82. もつ

数II 単元は微分です 赤線の部分について、与式がなぜ恒等式だとわかるのか教えて頂きたいです🙇‍♂️

☆お気に入り登録 例題 195 関数の決定 xの多項式f(x) の最高次の項の係数は1で, (x-1)f'(x)=2f(x) +8 がつねに成り立つ. このときf(x) を求めよ. [考え方] 解説を見る まず, f(x) の最高次の項のみを考える. また, 「つねに成り立つ」 とは 「恒等式｣ ということである. 例題195 関数の決定 解答 f(x) は定数関数にならないから, 最高次の項を x” とお くと, f'(x) の最高次の項は, nxn-1 したがって, 与式の左辺の最高次の項は, nxn 右辺の最高次の項は, 2x" 与式は恒等式であるから, ①, ②より, nx"=2x" も恒等 式となる. よって, n=2 これより, f(x) は2次式なので, f(x)=x2+ax+b と おくと, f'(x)=2x+α 与式に代入すると, (x−1)(2x+a)=2(x²+ax+b)+8 (a+2)x+(a+26+8) = 0 3 ③がxについての恒等式であるから, a+2=0, a+2b+8=0 したがって, a=-2, b=-3 よって, f(x)=x2-2x-3 ・① *** ( 南山大 ) 定数関数なら f'(x)=0 より f(x) = -4 となるが, これは題意に反する. f(x) をn次式とす ると,f'(x) は (n-1) 次式 最高次の項の係数は 1 ③がつねに成り立つ ⇔ どんなxについ ても ③ が成り立 係数比較は必要十分 性をもつ. 書込開始

(1)で次数を求める時、自分はn次式とだけ置いたのですが、解答ではf(x)が定数の時と定数ではないときに場合分けしてました。場合分けする必要はあるのでしょうか

11. 整式f(x)がxについての恒等式 xf(x2-1)-5f(x)=(x+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29 を満たすとする. (1) f(x) の次数を求めよ. (2) f(x) を求めよ. (宮崎大改)

線で囲ってある部分について質問です。 なぜ商が定数になるのですか？

112 第2章 高次方程式 Check 例題 54 剰余定理(2) 整式 P(x) を x2+x+1 で割ると余りはx+1, x-1 で割ると余りは 11のとき,P(x) を x-1 で割った余りを求めよ. (東京電機大改) STOLOM (1 %) ²0 [考え方 P(x) を2次式x+x+1で割った商をQ(x) とすると、余りはx+1. この商をさら にx-1で割った商をQ'(x), 余りを定数αとして, P(x) を考える. ここで,P(1)=11 となることから,定数aの値を求める. 解答 Focus P(x) を x2+x+1 で割った商をQ(x) とすると,余りは x+1 より, P(x)=(x2+x+1)Q(x)+x+1 ① さらに,Q(x) をx-1で割った商をQ'(x), 余りを定数 αとすると, Q(x)=(x-1)Q'(x)+α ..2 ②を①に代入すると, P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1 =(x-1)(x2+x+1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1 =(x-1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1 P(x) をx-1で割ると余りは11より, P(1)=11 したがって, ③より, P(1)=a(12+1+1)+1+1=11 よって, 求める余りは, a=3 3(x2+x+1)+x+1=3x²+4x+4 P=BQ+R 商のQをさらに割ってみる *** .....3 R(x)=a(x2+x+1)+x+1 ここで②① に代入してP(x) を考えてもよい. ...... 1次式で割ったとき の余りは定数 注> P(x) を x-1=(x-1)(x2+x+1) で割った商をQ(x), 余りをR(x) (2次以下)とす ると, 剰余の定理 P(x)=(x-1)(x2+x+1)Q(x)+R(x) ・・・・・① さらに,R(x) を x2+x+1 で割った商を定数aとすると,余りはx+1 より, ·②

余りはどういう時に、ax^2+bx+cになるんですか？ 教えてください🙏🙏🙏🙏

90 00000 基本例題 54 剰余の定理利用による余りの問題 (2) 整式P(x) を x+1で割ると余りが -2, x-3x+2で割ると余りか-3x+7であ 重要 55 るという。このとき,P(x) を (x+1)(x-1)(x-2)で割った余りを求めよ。 指針 例題 53 と同様に, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 C 3次式で割ったときの余りは2次以下であるから,R=ax+bx+c とおける。 問題の条件から,このα, b,cの値を決定しようと考える。 別解 前ページの 別解 のように、文字を減らす方針。 P(x) を (x+1)(x-1)(x-2)で 割ったときの余りを、更にx3x+2 すなわち (x-1)(x-2)で割った余りを考える。 解答 P(x) を (x+1)(x-1)(x-2)で割ったときの商をQ(x), 余り をax2+bx+cとすると,次の等式が成り立つ。 P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+ax+bx+c・ ここで, P(x) をx+1で割ると余りは-2であるから P(−1)=-2. ② 11-217 P(x)=(x-1)(x-2)Q1(x)-3x+7 また, P(x) を x² - 3x+2 すなわち (x-1)(x-2)で割ったとき の商をQ(x) とすると ゆえに P(1)=4 よって, ①② ~ ④ より a-b+c=-2, a+b+c=4, 4a+2b+c=1 a=-2, b=3,c=3 -2x²+3x+3 ...... この連立方程式を解くと したがって 求める余りは EUR [LOT 4/4 A P(2)=1 ...... ...... ① 基本53 038 A 3次式で割った余りは, 2 次以下の整式または定数。 <B = 0 を考えて x=-1, 1,2 を代入し, a,b,cの値を 求める手掛かりを見つける｡ (第2式) (第1式) から 266 すなわち6=3 ²030 FE ! と 両辺 10に

赤線部分がよく分かりません。 なぜX^k+2+1/X^k+2がtの（k+2）次式だといえるのですか？ よろしくお願いします🙇‍♀️

らから 2>0 [大] PR 0123 1 t=x+₁ とおくと,すべての自然数nについて x”+- x 納法によって証明せよ。 「x+ "+11/2 はtのn次式になる」 を (A) とする。 xn [1] n=1のとき x+-=tであるからtの1次式となり, (A)は成り立つ。 はtのn次式になることを数学的帰 n=2のとき x2+1/13=(x+1)-2=1-2であるからもの2次式となり、一 (A)は成り立つ。 [2] n=k,k+1 のとき, (A) が成り立つと仮定すると 1 k+1は,それぞれ tok次式,(k + 1) 次式 +. x² +1²/²₁x² +1+ 9 xk となる。 n=k+2 のときを考えると * * *² + _ — — = = {( x ² + ¹ + _— — — ) ( x + ²))-(x^+ → ) x+2+ ={x++ k+2 k+1 xC XC 仮定から, また、{}内はもの (+2) 次式,x+ 1/12/17 はものに次式 k x 1 となり、x2+ k+2はもの (+2) 次式である。 よって, n=k+2 のときにも (A)は成り立つ。 [1], [2] から すべての自然数nについて (A)は成り立つ。 □ n=k+2 の場合の式 を証明するときに, n=k+1 の場合だけで なく,n=kの場合も必 要である。 Ed {(k+1) 次式}× ( 1次式) は (+2) 次式。

写真の赤線で引いたところがなぜそうなるのかわかりません。どなたか解説おねがいします。 また、f(x)を2x+1で割って4余ると書かれていますが、これは問題の前提です。

ポイント 参考 f(x)=(2x+1)(2x-1)Q(x)+R(x) として, 部分だけを見る と2x+1でわりきれています. ところが, f(x) は2+1でわると 4余っているので, R(x) を2x+1でわると4余るはずです.だか ら, R(x)=a(2x+1)+4 とおけます。こうすると、使う文字が1つだけで 済みます. (a は, R(x) を2x+1でわった商を表している) この考え方は、たいへん有効な考え方なので,次の 26 で使ってみます. n次式でわったときの余りは(n-1) 次以下の整式 講習問題 25

なぜ下線のように言えるのですか？ ２枚目の計算はできるのですが、ここからどう展開するのですか？

25 剰余定理(ⅡI) 整式f(x) を2x+1, 2x-1でわったときの余りがそれぞれ 4, 6のとき, f(x) 4.²-1でわったときの余りを求めよ. 精講 24 で学んだように, わり算が実行できなくても 「剰余の定理」 を使 えば余りを求められます. しかし, この定理は1次式でわったとき の余りを対象にしたものです. この問題のように, 2次式でわった ときの余りを要求されたらどのように対処するのでしょうか. 求める余りは ax + b とおけるので f(x)=(4x2-1)Q(x) +ax+b と表せる. 解答 1-121) - 4.1(12) = 6 だから, =6 -1212a+b=4, 1/23a+b=6 よって, 求める余りは, 2x+5 ポイント 参考 ∴.a=2,b=5 MUS 43 | 2次式でわった余り は1次以下 剰余の定理 n次式でわったときの余りは (n-1) 次以下の整式 f(x)=(2x+1)(2x-1)Q(x)+R(x) として, 部分だけを見る と2x+1でわりきれています. ところが, f(x) は2+1でわると 1であると4余るはずです だか

次数を比較して〜からわかりません。解説お願いします。

f(x)はxについての整式で, f(0)=1, f(x)={f'(x)} を満たすとき,次 の問いに答えよ。 (1) f(x)は何次式か。 (2) f(x) を求めよ。 考え方 f(x)をn次式として, 条件式の両辺の次数を比較する。 (1)(i) f(x) が定数関数のとき, f'(x)=0 このとき, f(x)=1/{f'(x)}^2=0 となるが,これは f(0)=1 に反する。 よって, f(x) は定数関数ではない。 (i) f(x)をn次式(≧1) とすると, f'(x) は, n-1次式となる。 両辺の次数を比較して n=2(n-1) これより, n=2となる。 (i (i)より, f(x) は2次式である。 解 (i),