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基本
例題
|AB=2, BC=x, CA=3である △ABCがある。
xのとりうる値の範囲を求めよ。
指針
158 三角形の成立条件、鈍角三角形となるための条件
(1) x
(2)△ABCが鈍角三角形であるとき,xの値の範囲を求めよ。
解答
(1) 三角形の成立条件|b-c| <a<b+c を利用する。
ここでは, 3-2| <x<3+2の形で使うと計算が簡単になる。
(2)鈍角三角形において, 最大の角以外の角はすべて鋭角であるから、最大の角が鈍
角となる場合を考えればよい (三角形の辺と角の大小関係より, 最大の辺を考える
ことになる)。そこで, 最大辺の長さが3かxかで場合分けをする。
例えば CA(=3) が最大辺とすると
∠Bが鈍角⇔ COS B <0⇔
c2+α²-62
2ca
<0c²+a²-b² <0
となり,62>c'+α² が導かれる。これにb=3,c=2,a=x を代入して,xの2次不
等式が得られる。
x2-50
[類 関東学院大]
/P.248 基本事項 3 4 重要 159
(1) 三角形の成立条件から 3-2<x<3+2
よって
1<x<5
(2) どの辺が最大辺になるかで場合分けをして考える。
[1] 1<x<3のとき,最大辺の長さは3であるから,そ
の対角が90°より大きいとき鈍角三角形になる。
ゆえに
3²>2²+x²45AOX
すなわち
よって
(x+√5)(x-√5)<0 (+x)+
ゆえに
-√√5<x<√5
(1+8)(1-²)
1<x<3との共通範囲は 1<x<√√√5
[2] 3≦x<5のとき, 最大辺の長さはxであるから, そ (1) から x<5
の対角が90°より大きいとき鈍角三角形になる。
LE-SU
ゆえに
x2>22+32
すなわち
x²-13>0
よって
ゆえに
3≦x<5との共通範囲は
[1], [2] を合わせて
(x+√13)(x-√13)>0
x<-√13,√13 <x
00000
√13 <x<5
1<x<√5,√13 <x<5
参考 鋭角三角形である条件を求める際にも, 最大の角に着目
し、最大の角が鋭角となる場合を考えればよい。
<|x-3|<2<x+3または
|2-x|<3<2+xを解い
てxの値の範囲を求め
てもよいが, 面倒。
(1) から 1<x
[1] 最大辺が CA=3
HEA
3
259
B
C
B> 90°⇔ AC2 > AB2+BC2
[2] 最大辺が BC=x
A
3
(18) (1-2
B
A>90° BC²>AB²+AC²2
x
4
1988 正弦定理と余弦定理
