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第5章
基礎問
73 対数関数の最大・
/(x)=nlog.r+log (n+2-nz)
(0<x<n+2.
n:
自然
について、次の問いに答えよ.
精講
(1)最大値Mをnで表せ.
(2) lim M を求めよ.
対数関数の最大・最小も三角関数と同様で,おきかえなどで微分を
しないですむものならそちらの方がラクですが,この問題もそれは
無理です.
(1) 微分することが方針であることは当然として, そのまま微分しますか?
それとも変形して微分しますか?
したところで 066
解 答
n
(1) f'(x) = " + (n+2-nx)' _ n n
=
IC
n+2-nữ
IC
n+2-n
(合成関数の微分: 62
_n{(n+2)-(n+1)x}
x(n+2−n)
f'(x)=0 を解くと x=-
0<n+2 <n+2
n+1 n
より
増減は右表のようになる.
n+2
n+2
IC
0
...
:
:
n+1
n+1
f'(x)
+
0
22
T
n+2
n
f(x)
> 最大 ゝ
..
M=s(n+2) =nlog-
n+2
=
n+1
なり、
=log|
(2) limn+2+1
(1+
+
n→∞
-+log{n+2-
g(n+1)+10g (n+1)=log
= lim
○\n+1)
n+1→∞
An+1
1
n(n+2)}
n+1
n+2)
n+1
n+1/
=e
n+1
051
84U
よって, lim M = limlog ("+1)
n+1)
n→∞
=loge=1
