⑴や⑵で使われている2/5の求め方がわかりません

96 (114) 例題 B1.50 漸化式と確率 (1) 1から5までの数字が書かれたカードが各1枚ずつ合計5枚ある.この 中から1枚のカードを取り出し, カードに書かれた数字を記録して,も とに戻すという操作をくり返す. 記録された数字の列について,最初の 個の数字の和を3で割った余りが0である確率をpmとする. x (1) pi, P2 を求めよ. (2) +1 を の式で表せ. (3) pm を求めよ. 3の倍数 考え方 (n+1)回目までの和は, n回目のときの状態か ら計算できる. の流れ図をかいて考える. HOS 解答 第1章 数列 70 201 20 (2) n回目の操作の 数字の和 と同様に考えて, (I-)=(1-1 Pn+1=1 3の倍要(3) (1)(2)より, ROTOT n回目 ｢3の倍数 pn pi=// 2回目までの和が3の倍数になるには、 3の倍数 でない 1-pn ★1回目が3の 倍数のとき, 2回目は3が出ればよい. 1回目が3の倍 数でないとき, 余りが1のときは2か5, 余りが2のと きは1か4が出ればよい つまり, 5枚のうちの2枚が 出ればよい. 1回目が31回目が3円(1,2,45) 2_9 (323) kot, p₁=Pix ² + (1 - p.) x ² = 2/5 よって, 5' H = 1/ P ₁ + ²/3 (1 - p.) = — - — / D ₂ + ²/3 n == NIMA 等比数列より, 1_ pm 12/5 - (-1)" 3 2か5が出る (余り1) n-1 1 2/1\" *₂7. P₁ = = = 3 + + 3² (- - -) よって, (余り2) 1か4が出る一 2 c 2 3 p=131.poil-1/2=1/(1-1/2) 特性方程式 Pn+17 3が出る PnX I P^5 **** (1— pn)× T 数列{po-12は、初項か13/1/35 公比 2 (2×4)(4² ~2/1\" 3 5 **** (関西大改) (12)(2012 5 (54)(425) 1/3の (15)(51) 1,4→ n-1 (n+1)回 18 ときのみの確率 ある整数を3で割っ たときの余りは、 0, 1, 2 2回の和が3の倍 になるのは, 1回目 2回目 2か5 3の倍数 Cras は1回目が3の Pn+1 例 → 1か4 3 3 ※1:30あまり a= a= 答 回目までの和を3で 割った余りが1か? の場合で,1のとき 考え は (n+1)回目は2か 5,2のときは(n+1) 回目は1か4

(2)の数列｛An+1＋An｝はーのところで、An+1＋Anという数列はどこから来たのですか?An-1＋An-2はどこへ行ったのですか?

[例題] 316 場合の数と漸化式 2辺の長さが1と2の長方形と1辺の長さが2の正方形の2種類のタイル がある。 nを自然数とし, 縦2, 横nの長方形の部屋をこれらのタイルで 過不足なく敷き詰めるときの並べ方の総数を Am で表す。 (1) n ≧3のとき, An を An-1, An-2 を用いて表せ。 (2) Ann を用いて表せ。 思考プロセス 具体的に考える 例題 307 Am を敷き詰める 最初にをおくと 最初に 最初に をおくと2 をおくと An+An-1=2 (An-1+An-2) --2- -2-- An-2A-1=-(An-1-2An-2) 3 ②より, 数列{An+1 + An} は初項 A2 + A1 = 4, 公比2の等比数列であるから n Action» n を含んだ場合の数は,最初の試行で場合に分けよ 解 (1) 左端に長辺を縦にした長方形を並べるとき 残り縦2, 横 (n-1)の部分の並べ方は A-1 通り (イ) 左端に長辺を横にした長方形を並べるとき 残り縦2, 横 (n-2)の部分の並べ方は A-2 通り (ウ) 左端に正方形を並べるとき 残り縦2, 横 (n-2)の部分の並べ方は A-2 通り (ア)~ (ウ)より An=An-1+2An-2 ① (2) ① を変形すると A-1 An+1+An=4.2-1 = 2+1 ③より, 数列{An+1-2Am} は初項 A2-2A1 = 1, 公比1の等比数列であるから An+1-2An=1,(-1)"^'=(−1)"-' ④ ⑤ より 3An=2+1-(-1)^-' よって An = 1/1/12 (2711-(-1)^-1) n-2 An-2 n-2 An-2 (東京大) ← 斜線部分 も 特性方程式 x2-x-2=0 より x=-1,2 より A = 1 ①日 より Ag = 3 [練習 316 先頭車両から順に1からnまでの番号の付いた両編成の列車がある。 ただ し≧2 とする。 各車両を赤色, 青色, 黄色のいずれか1色で塗るとき, 隣 り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。 (京都大) p.570 問題316 6 章 18 化式と数学的帰納法 547

1番初めの式から矢印でひっぱった式になるまでで、 An＋1のところに＋3がつくのはなぜですか

自然数 57 数列{an} は a1=1 で, x+1=2a+3 (n=1, 2, 3, ......) .. ① を満たすとする。 ... ① は an+1+アーイ(ag+アと変形できるから, 1 1エである。 3=2(an+3)/ an am tr bn thin bnti = 2bn bnは公比2の等比 b₁ = a₁ + 3 b1=4<初垣 bnb bn=4.27- bian+3=27+1 = アイ 9 = 2n+1 22 解答 (ア) 3 (イ) 2 (ウ) 2 (エ) 3 58 (1) 数列 {an}の初項から第n項までの和S に対して, S=n(n-2) が成り立つとき, an=1 ウn- an=27+1-3 I である。

この問題がどうしても解けません。３枚目の答えの写真にある「よって〜」の所で数列bnじゃなくてbn +1の数列を求めてるところがよく分かりませんでした。数列bnじゃない理由も教えていただきたいです。お願いします。

利用することにより求めよ。 077 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を[]で示したおき換えを an *(1) a1=6, an+1=6an+3n+1 [bn= 3"

波線引いているところで、bnをなぜan－1とおくのかわかりません！もう少し詳しく教えてほしいです🙇🏻‍♀️

例題 297 漸化式 思考プロセス d1 = 5,/an+1 般項を求めよ。 例題 296 既知の問題に帰着 3a-2 例題296 で学習した, (ア) 等差型, (イ) 等比型, (ウ) 階差型 のいずれかに変形することを考える。 an+1=3an-2 = 3a - 2 an+1-α=3(an-α) a an-α = bn とおくと) \an+1-α=bn+1 解 漸化式 αn+1=34-2は, α = 3α-2 を満たす解 α = 1 a を用いて変形すると Anel-1304-3 ・・・) で定められた数列{an}の一 bn+1=36m (イ) の形 Action» 漸化式 ant) = p@a+αは、 特性方程式xp+g の解を利用せよ 12, = an+1=1=3(an-1) ここでbn=an-1 とおくと よって, 数列{bn} は初項b1=α1-1 = 4,公比3の等比数 1, 2 列であるから bn = 4.3"-1 an=bn+1=4・3"-1 +1 したがって 〔別解) ・② ... ant! bn+1=36 3au 3091 an+1=3an-2① において、辛出会 nをn+1に置き換えると an+2 3an+12 ①,②の辺々を引くと an+2an+1 = 3 (an+1-an) ... 3 数列{an}の階差数列を {bn} とすると,③ bn+1 = 3bn よって, 数列{}は初項8 の (ア) an+1=an+d (イ) an+1=ran (ウ) an+1=an+f(n) ^èmo. Ibn = An − 1 kh an = bn +1 8+n8=E (1-2) an a=3α-2 をもとの漸化 式の 特性方程式 とよぶ｡ p.523 Play Back 32 参照 特性方程式を用いて, 化式を変形したときは 展開してもとに戻ること を確認するとよい｡ S 3+1 = (8-AS) 階差数列を利用した {an}の階差数列{bmi すると bn=an+1 と間道 bn=an-an-1 ないように注意する。 13 £

この問題がわかりません！ 解説つきでお願いいたします🙇‍♀️。

1 a=9, an+1=6a+3 +1 で定められる数列{an}の一般項を, b n 求めよ｡ an+1=6an+3n+1をght で割ると a 3" とおき換えることによって

電磁気学のローレンツ力(電子の運動)問題になります。 赤のマークで運動方程式が示される理由と、複素数を用いた連立微分方程式が分かりません。教えていただけると嬉しいです

82 一電磁場中での運動 (複素数による解法) - 電場E (ax, ay, 0) (a>0)の場の中で電子が引力を受けて ry- している。これに外部から磁束密度B = (0, 0, B) の磁場をかけたとき、振動が つに分離することを示せ､ 【ヒント] 位置座標x,yに対し, 複素数z=x+iy を使え. 【解答】 電子の質量をm、電荷を−e とすると運動方程式は mx=-eax-ey Bo my=eay+exBo となる、磁場がかからないとき、電子は角周波数wo =√ea/mの単振動をしている の連立微分方程式を解くとき, z=x+iyの複素数を使うと NOT mz-ieBoz+eaz=0 が得られる、この微分方程式の特性方程式はmi-ie Boi tea=0 である. は λ = iwt, eBo ±√e²B+4mea 2 m W+ となる.したがって、 基本解は二つの振動モード (4, _ によって N x = Ricos wt + R2 cos w_t { y= Risinwt + R2 sin w_t と表わされる. 二つの振動の分離幅は+>0,w_<0 より w+ −|w_|=- z=x+iy=Reiott + Rzeiw-t→ 2 www. eBo m となる. 電子の運動はw+, W_ の合成運動となる.

数Bの数列の漸化式の質問です。 解答の1行目の4an-1が0になったらいけないのに4an-1≠0を示す必要は無いんですか？ 必要があるのならその示し方、必要が無い(そもそも示す必要がないor既に示されてることが明らか)のならそれが何故かを教えてください。

2,45\ ■方針。 ど, 着 両 法 階 「 例題 基本 4-3- 37 an+1= an+1 an+1= 2 an 4an-1 an pantg ① 漸化式の両辺の逆数をとると an panta のように、分子が an の項だけの分数形の漸化式の解法の手順は 1 an+1 1 = b とおくと bn+1=p+gbn an によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 4/5 漸化式 An+1= 練習 37 α=1, an+1= 型の漸化式 p.464 基本例題 34 と同様にして一般項6 が求められる。 また,逆数を考えるために, an=0(n≧1) であることを示しておく。 CHART 両辺の逆数をとる an-1=an-2=.....=a1=0 an 分数形の漸化式 αn+1 47 で扱っている。 3an an ①とする｡ an+1=; 4an-1 答 ① において, an+1=0とするとa=0であるから, an=0 となるnがあると仮定すると 1 an panta 1 an+1 ところが α= (0) であるから,これは矛盾。 よって すべての自然数nについて an=0である。 ① の両辺の逆数をとると =4- = [類 早稲田大] ・基本 34 重要 46\ t bn+1=4-bn 1 an -=6m² とおくと bn+1-2=-(6-2) これを変形すると また b1-2=1-2=5-2=3 ar ゆえに,数列{bn-2} は初項 3,公比1の等比数列で bn-2=3.(-1)^-1 すなわち bn=3· (−1)"'+2 したがって =p+q ___1 bn3.(-1)"'+2 rants panta an bn+1=0b+の形に帰着。 $_$85 (0<1) +0+2=1 <=> an 05 an-1=0 これから an-2=0 以後これを繰り返す。 逆数をとるための十分条 件。 1 4an-1 an an+1 469 特性方程式 α=4-α から α=2 -87 によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 1 章 4 漸化式と数列 bn=1 という式の形か an 5 bn=0 (s≠0)の場合については, p.484, 485 の重要例題 46,

専攻科入試問題を解きました．答え合わせをお願いしたいです！ 試験範囲:線形代数・微分積分 間違い箇所は，解法も添えていただきたいです． 宜しくお願いします．

14 RO3 11 (1) xy + y ここで ay y=0 #cy == #dx x ². とすると logy = = logx + C = -logese y =R²= | J = A·x²² +Bx +D kαic. y'=2A%÷3.これを与式に代入 X (2A x +B) + Aα² +Bα+D. = x² 2A%² + B + A2² + B2 +D₁ = x² 234 ²³² + 2B x + D = ². よって第=-CX+/x² (2) wyll - 4y + 3y = 0· 特性方程式 x² - 4x +3=0 よって #>2 y = C₁ ex + C₂ e ³x cx. 任意定数 No. y² = y + y ² = = { / 次に y = Aexとおく 与式に代入し、係数比較 DATE C = log c (A-3) (A-1)-0 λ = 1,3₁ C₁₂ (₂:1 係数を比較して A = √2/²₁ B=O₁ D=0. (3) ²² ~ 4+ y² + 3 = ex 斉次でとくと、(2) より by = Clex + Czezx1 y' = Aex, y² = AC². A EL/C₁/C₂:14 W Aex- $ex +3ACx = 0' = A$" uttaunz`y=Axe³³² y = Ae² + Axe ², wy²l = Aex + AC²+Axe² = 2A0²+Axex 年式に代入して係数ヒカク A ex +Axex-4A ex-Axe ² + 3Axe² = -2Aex = ex -2A=1よりA-2 Fizy=C₁ex + c₂e³x - xex

特性方程式を使った解き方でお願いします

> 204 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 (1) a₁=2, an+1=3an-2 *(3) a₁=1, an+1=-2an+1 2an+1-an+2=0 *(5) a₁=1, → p.173 POINT An 3 (2) a₁=1, an+1= (4) a₁=2, an+1+An=−8 *(6) a₁=0, 2an+1-3an=1 +2