【途中計算】青い線で囲った1/k+1はどこから出てきたんですか？

する。 (I)n=1のとき, (①の左辺)=1- (左)=1-12-1/12/2 1 1 (①の右辺)= 1+1 2 よって, ①は成り立つ。 (I)n=kのときの①、 すなわち, (1/1/2)+(1/13-1/18)+(1/-/1/2) + + (12/0²/12/16) 2k-1 2k 1 1 1 + k+1 k+2 k+3 が成り立つと仮定する。 ②を用いて,n=k+1 のときの①の左辺を変形すると, (1-12/2)+(1/8-1)+(1/8-1/2)+ 3 k+1 k+2 k+2 + h+2 1 k+3 k+3 ...... + + + 1 2k-1 k+3 1 k+4 +......+ T k+4 " 1 k+k 21/12) + 2k 2(k+1)-1 2(k+1) k+k ・求める 1₁ k+k 2k+1 k+k 2k+1 2(k+1) 1 k+1 2(k+1). + 1 1 1 + (k+1)+1 (k+1)+2 (k+1)+3 同じ 2k41 2(k+1) 2+1+2 1 ·+· (k+1)+/k−1) (k+1)+k (+1)+(k+1) よって,n=k+1のときも ① が成り立つ。 (I), (II)より ① はすべての自然数nについて成り立つ。 第1章 数列 数学 仮定②を利用する 同じと zk 2k + 2k11

解法2の方ですが、なぜ(n+2)(n+1)を両辺にかけるのですか？

例題296 漸化式 an+1=f(n) an FOTO *** a=1,(n+3)an+1= nan で定義される数列{an}の一般項an を求めよ. 考え方 解答 1 漸化式は an+1=- an+1= f(n)an となる。 ここで, 解答1 漸化式を変形して このとき, az= ■解答 2 漸化式の両辺に(n+2) (n+1)を掛けると, (n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1) an+1=f(n)an=f(n){f(n-1)an)=f(n)f(n-1){f(n-2) これをくり返すと, an+1=f(n)f(n-1) f (n-2)......f (1) at nam となる. bn=(n+2)(n+1) nam とおくと, この式はbn+1=bnとなる。 28 an...... ① an n n+gan と変形できて, f(n)=_" an= an+1= a3= 2+30 392= n≧4 のとき, ① をくり返し用いると, n-1. n-2.n-3.n-4 n+2n+1 n 3 2 1 6 •1 = n+2 n +1 n n(n+1)(n+2) n n+3a 1 1+391 4' よって, ● 1 2 2+3 1+34 この式はn=1,2,3のときも成り立つ . よって, n-1 an=- 3 漸化式と数学的帰納法 6 n(n+1)(n+2) A₁ = 解答2 漸化式の両辺に(n+2)(n+1)を掛けると, (n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1)nan 6 n(n+1)(n+2) 10 4.3.2.1 7 6 5 4 したがって, bn=bn-1=bn-2=.....=b1 ここで,b=(1+2)・(1+1)･1・α=6 より,_bı=6 bn=(n+2)(n+1)nan であるから, (n+2)(n+1)nan=6 n+3 cin とおくと, Inde .Fai an= n-1 n+2an-1 n-1n-2 n+2n+1 a=1 25/19 (-102 bn=(n+2)(n+1)nan とおくと, ②はbn+1=6mとなり, =(n+2)(n+1)nan これはすべての自然数nに対して成り立つ. (n+3)(n+2) mm -An-2 a=1 x(n+1)an+1 523 第8章

なぜ蛍光ラインの式に持っていくのですか？

考え方 [Check 例題 解 a1=2, an+1=2an+1 で定義される数列{an}の一般項an を求めよ. 285 漸化式 an+1=pan+q (p≠1) bn+1=pbn こわいとでき、数列{bn}は公比』の等比数列となる. の等比数列となる。同 与えられた漸化式を, an+1-a=p(an-a)...... (*) 漸化式 の形に変形できれば, an-a=bn とおいて, 解より p+,nd=in R こ このαを求めるには、次の方程式 (**) を解けばよい. = pan+a(1-p) もとの漸化式 an+1= pan+ α と等しくなるには,g=α(1-b) であればよい. つまり、変形すると、 a=pa+q...(**) となり, この式は,もとの漸化式の an+1 と an を αでおいた方程式と同じになる。この方程式を特性方程式という. an+1=3・2n-1 よって, (別解) an+1=2an+1① より, ②-① より, ocus 2010 JAN an+1=2a+1より, an+1+1=2(an+1)=左野さ=2a+1 より, α=-1 数列{an+1} は,初項 α1+1=2+1=3, 公比 2 の等比数列 REPUE だから,一般項は, 慣れるまでは, an+1=6n とおいて, 数列{bn} を考える an=321とよいかを考 an+2=2an+₁+1......2 3 ptxd an+2an+1=2(an+1-an) an+1-an=bn とおくと, bn+1=26m となり, 数列{bn} は,初項 bı=a2-α=2a+1-a=a+1=3,公比2の 等比数列より bn=3.2n-1 #lpt n-1 32-1-1) n≧2のとき, an=ax+20=2+ 2-1 k=1 n=1のときも成り立つから, 3 漸化式と数学的帰納法 ** ON an+1=pan+q (p⇒1) this. an=3.2-1-1 注 特性方程式 α = pa+q (p≠1) 漸化式 (慶應義塾大) an+1= pan+α の特性方程式 a=pa+q -=3.22-1-15-3)x=x 140 n=1のときを確認 α=3.2°-1=3-1=2 d anti-α = p(an-α)と変形して等比数列に帰着 IACH 特性方程式を用いず 階差数列を利用する. {bn}は{an}の階差 数列 3 p+xd=x JctJ an+1=pan+g・･･･① について, an+1 と an を α とおくと, a=pa+q ......2 ◆ 特性方程式」 ①-②より, an+1-α = p(an-α) ...... ③ ①p+md と変形でき,②を解くと③に入れるαの値を求めることができる. (③を展開すれば①の式になる.このことも確認しておくとよい.)

なんでn≦kが出てくるのかがわからないです。 誰か親切な方教えてください🙇‍♀️

nを仮定する数学的帰納法 3 漸化式と数学的帰納法 例題 322 (an) を満たし α = 2 である. このとき, 一般項an を推測し, これを証明せよ. 3a²+az²++an²)=nawa.o! ① で n=1 とすると α = 2 より az=6 ① n=2とすると =2,42=6より ① で n=3とすると、 考え方 まずは具体的に書き出して一般項an を推測し, それが正しいことを数学的帰納法で証 明する.n=kのとき, 3(a²+az²+......+an²) = kakak+1 となり, 推測した an (n≦k) を a, a2,......., ak に代入して ak+1 のときも成り立つことを示せばよい. そ のため, a1,a2, ......, ak のすべてを仮定する必要がある とおく。 3a²=1.ara2 3(a²+az^²)=2azd3 3=10 (+01=05501-8 Q(x)とする。 3(a₁²+a2²+a3²)=3a3a4D (INZ a=2, a2=6,a3=10より, a=14 したがって,数列{an}は,初項2, 公差 4の等差数列,つまで、 り, 一般項an は, an=2+(n-1)・4=4n-2...... ② ***D *** と推測できる. ②を数学的帰納法で証明する. ()+"el- (I)n=1のとき, α=4・1-2=2 より ②は成り立つ。 In≦を満たすすべての自然数nについて ② が成り立 (つと仮定すると, ae=4l-2 (l=1,2,......, k) 16-17/(0-)-4 ①でn=kとすると, =(a²+a²+......+a^²)=kanak+1 ③ k k (③の左辺)=3Σ(4e-2)=3】(16ℓ²-16ℓ+4) l=1 3/16/01k(k+1)(2x+1)-16/12 (+1)+4k (-) =k{8(k+1)(2k+1)-24(k+1)+12} (-) = 4k (4k²-1)=4k(2k+1)(2k-1) ・④ (③の右辺)=k(4k-2)an+1=2k(2k-1) ak+1 ④ ⑤ より, 4k(2k+1)(2k-1)=2k(2k-1)an+1 したがって, ak+1=2(2k+1)=4(k+1)-2 となり,n=k+1 のときも②は成り立つ (1 (I), (II)より, すべての自然数nについて, an=4n-20- が成り立つ. LOTL 561 第8章 a1,a2,…,ak につ いての仮定が必要に なる. (S-1)="er (MIR) 1.05=8-0²5 om 5 RAH STIS *** REL. RAY 2k (2k-1) (+0) 両辺を割る. 練習 数列{an} (a>0) はすべての自然数nに対して, 656 322 (a1+a2+..+an)=a+a2+...... +α を満たす。このとき,一般項an を *** 推測し,これを証明せよ。 Date +1 自然 で定義 QA 2+1 15 を数学的 2 1-1/3 I 1 つ. ①が成 1 -ak 2k (k+ (k n

この問題の(2)と(3)を教えて下さい🙇 お願いします🤲

5 第3節 漸化式と数学的帰納法 問題 15 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 (1) a1=2, an+1=an+2n-1 (n=1, 2,3,……) (2) a1=1, an+1+an=3 (n=1, 2, 3, .....) (3) a1=2,2an+1=an+1 (n=1, 2, 3, ......)

数Bの3項間の漸化式の問題です。なぜ②の形に変形できるのでしょうか？また、②を整理して③になる途中式を教えて頂きたいです。

次のように定められた数列{an}の一般項について考えてみよう。 3項間の漸化式 an+2 = pan+itqam 発展) = 2, a2 = 3, an+2 = 5am+1-6a, …0 (n=D 1, 2, 3, …) このとき,定数 a,Bを用いて① を dn+2-@ln+1 -Blan+1- aa,) の形に変形できると,数列 {an+1- aam} の一般項を求めることができる。 2を整理すると (α+ B)an+1-aBam An+2 ミ 0と3を比較して α+B=5, aB =6 であればよい。 10 このとき,a, Bは2次方程式 x-5x+6=0 の解である。 この2次方程式の解 x= 2, 3 を用いて, ① は a= 2, B=3 のとき a= 3, B=2 のとき と変形できる。 an+2-2an+1 =3(an+1-2am) an+2-3am+1 =2(an+1-3am) 15 より,数列 {am+1-2am}は公比3の等比数列であるから -2am = 3"-1 (a2-2a) = 3"-1 (3-2·2) = -3"-1 2n+1- すなわち an+1-2a, = -3"-1 6より、列{am+1 -3a,}は公比2の等比数列であるから 『n+1-3a, = 2"-1 (a2-3al) = 2"-1(3-3·2) = -3·2"-1 すなわち an+1-3a, = -3.2"-1 6-のより an =3.2"-1-3"-1 問1 次のように定められた数列 {an} の一一般項を求めよ。 " a; = 1, a。= 3, an+2 = 3an+1-2an (n= 1, 2, 3,.…) (n= 1, 2, 3, ) (2) a= 2, az = 1, am+2 = an+1+6am 45 1章|3節|漸化式と数学的帰納法

高校数学の問題です。写真の（2）で斬化式を2^n＋1で割ることは教えて貰ったのですがなぜ割るのよくわかりません。 どなたかわかる方、なぜ割るのかを含めて解法を教えていただけると助かります。

漸化式と数学的帰納法(宿題)学籍番号 ( )氏名 基礎問題 1. (1) a1 = 5,am+1 = 3an-2 (n == 1,2,3, )で定められた数列 {an}の一般項を (2) a1 = 4,an+1 =3an + 2" (n=1,2,3, )で定められた数列 {an}の一般項を求めよ.

(2)の問題は特性方程式の解が1と2であることを利用して、写真のように解くのは大丈夫ですか？ちょっと雑ですみません。

530 第8章 数 (1) an+2-2am+1-15a,=0 ……① が an+2-ean+1=B(an+1- aan)……2と変形で *ル-1 bn=dn+1-an とおくと,数列{bn}は数列 {an} の (1より =0 列 Unt 3 漸化式と数学的帰納法 Check 531 例 題 300 隣接3項間の漸化式 (1) 2-3an+1+2an 0より、 an+2-an+i=2(an+1-an) ..の 次のように定義される数列 {an}の一般項 an を求めよ。 (1) a=1, az=2, an+2-2an+1-15am=0 (2) a=3, az=5, an+2-3am+1+2an=0 (x-1)(x-2)3D0 より、x=1, 2 階差数列であり,②より, a=1, B=2 で考える。第8章 bn+1=2 b。 つまり,数列(bn} は、 初項 b=a2-a=5-3=2 公比 2 考え方(A) 特性方程式の解 a, BがαキB となる場合(p.529)である の等比数列であるから, bn=2-27-1 きたとする。 2より, antaー(a+B)an+1taBa,=0 bn=2" とできるが, [a=-3 {8-5 これより, a+8=2, aB=-15 だから, | anta+3an+i=5(an+1+3am) lamtz-5am+1=ー3(an+1-5am) または Q=5 したがって, n2のとき, -1 B=-3 こb。を計算するので an=a」+E。 =1 k=1 bn=2-2"-1 のままの方 が間違いが少なくなる。 {an} の階差数列{ba n22 のとき よって,2より, 1-1 =3+ 22-2*-1 これより,一般項 anを求めればよい。 (2)(A) aキ8 において, とくに α=1 となる特別な場合である。 つまり, k=1 2(2"-1-1) ag+2-3am+1+2an=0 は, an+2-Cn+1=8(an+1-an) 数列(a+-)は(a)の階差数列である。 =3+ {a)の階差数列 2-1 =3+2(2"-1-1) =2"+1 -1 an=a+ 2b。 {an+1-a) となり、 (1)と同様に解くこともできるが,ここでは階差数列の 考え方を使って解いてみよう。 =1 n=1 のとき, a=2'+1=3 となり成り立つ。 m n=1 のときを確認 よって, an=2"+1 ュ-15am=0 Tan+3a のより x-2x-15=0 w 解答 (aneit3an) (x+3。 E Rocus

(4)の問題を下の例題14のように解きたいのですが、どうしても初項が−2になってしまって困っています。正解は2です。なぜこうなってしまうのか教えていただきたいです🙇‍♂️

(4) a=6, an+1= 3am-8(n=1,2,3, ) で定められた数列 {am}の一般項は, の である。 an= 2、3"-1 さ 実、ア (0 ) 第3節 漸化式と数学的帰納法 35 例題 次のように定められる数列 {an} の一般項を求めよ。 14 a1=8, an+1=2an-3 解 an+1=2an-3 を変形すると, EG α=2a-3 より, α=3 an+1-3=2(an-3) したがって,数列 {an-3}は, 初項 a.-3=5, 公比2の等比数 列となり, 2 3? 5 an-3=5-27-1 よって, an=5-2"-1+3 42 次のように定められる数列 {am} の一般項を求めよ。 M。 数 列

漸化式と数学的帰納法が苦手なんですがどうしたらいいですか？