Question

東海道中

高校数学の問題です。写真の（2）で斬化式を2^n＋1で割ることは教えて貰ったのですがなぜ割るのよくわかりません。
どなたかわかる方、なぜ割るのかを含めて解法を教えていただけると助かります。

漸化式と数学的帰納法(宿題)学籍番号 (
)氏名
基礎問題 1.
(1) a1 = 5,am+1 = 3an-2 (n == 1,2,3, )で定められた数列 {an}の一般項を
(2) a1 = 4,an+1 =3an + 2" (n=1,2,3, )で定められた数列 {an}の一般項を求めよ.

斬化式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Shin✴︎

【なぜ割るのか？】
　→与えられた漸化式中の「2^n」が邪魔だからです。
　　もし仮にこの2^nが「2」ならば簡単に漸化式を解くことができますよね。
　　ですが、このn乗のせいで難易度が上がっています。
　　なので、n乗を消してより漸化式を簡単なものにするために2^n＋1で割ります。
　　すると、赤線部のように2^nが1/2になります。
　　そのあとは写真のように置換を行えばOKです。
　　※an/2^nの形を作り出すのがポイントです！

また、なぜ2^nではなく2^n＋1なのかというと、画像のオレンジの二重線のように置換するときに、
anのnと2^nのnが綺麗に揃うからです。また、この方が置換での解法を思いつきやすいと思います！

東海道中

丁寧に説明していただきありがとうございます。この解説のおかげでなんとか理解することができました。