中線定理の証明なのですが、 AC^2=(a-MH^2)^2+h^2 ….② の所のa-MH^2になるのがわかりません。 CHのこと言ってると思うのですが、この式でなぜ表せているのか教えください。

参考 ポイント △ABCにおいて、辺BCの中点をMとすると AB2+AC2=2 (AM2+BM² ) (中線定理) が成りたつ (三平方の定理を使う方法) A から辺BCに下ろした垂線の足Hが線分 MC 上にあるときを証 明しておきます. (証明) AH=h, BM=a とする. 右図のようにAから辺BC に下ろした垂線の足Hが線分 MC 上にあるとき, AB=BH2+h²=(a+MH)2+h² ∴. AB2=α²+2aMH + MH2+ h² また, AC2=(a-MH)2 +h² ... AC2=α²-2aMH+MH2 +h² ①+②より, AB2+ AC2=2a²+2MH+2h² = 2BM²+2(MH²+h²) =2(BM2+AM2) ① 2 A h B a MH C

なぜ①と②を足すんですか？ 教えてください🙇🏻‍♂️

練習 △ABCにおいて、辺BCを3等分する点をBに近いものから順にD,Eとするとき, 80 2AB2+AC2=3AD6BD が成り立つことを示せ。 △ABE において, 中線定理により AB2+ AE2=2 (AD2+BD2 CM ゆえに 2AB²=4AD²-2A + 4BD2 △ADC において, 中線定理により AD2 + A(AE2+DE2) DE=BD から ①+②から三 ① D21DEX JUC AC²=2AE"-AD'+2BD2 ...... ② 2AB2+ AC2=3AD2+6BD2 B A DE C

(3)の解説を詳しくお願いします。解答で、なぜ2AM²=AC²+AB²-2BM²という式がたつのかがわかりません。

△ABCにおいて、辺BCの中点をMとし, AB=c, BC=2a, CA=6 とおくとき 0% (1) cos Bをa, b, c で表せ. (2) AM2をa,b,c で表せ. (3) AB²+AC²=2(AM²+BM²) が成りたつことを示せ. (1) △ABCに余弦定理を適用して cos B= 精講 (2) 三角形の内部に線が1本ひいてあると,1つの角を2度使うこ とができます.この問題でいえば, ∠B を △ABC の内角と考え て(1)を求め,次に △ABM の内角と考えて AM2 を求めることが それにあたります。 解答 - (3) この等式を中線定理 (パップスの定理)といいます. この等式は,まず使 5463 えるようになることが第1です. 使えるようになったら自力で証明すること を考えることも大切です.また,証明方法はこれ以外に,三平方の定理を使 う方法 (**)や数学ⅡIで学ぶ座標を使った方法,数学Cで学ぶベクトル CA を使う方法などがあります. DVD 図中の線分 AM を中線といいますが, この線分AM を 2:1に内分する 点Gを △ABC の重心といい (52) これから学ぶ数学ⅡIの「図形と方程 式｣,数学Cの「ベクトル」 「複素数平面」でも再び登場します. 4a²+c2-62_4a²+c²-62 = C 2.2a.c 4ac (2) △ABM に余弦定理を適用して # B a - a AM²=c2+α²-2cacosB=c2+a- M a C 4a²+c²-6² 6²+c²-2a² 2 2 (3)a=BM,6=AC, c=AB だから, 2AM² = AC2 + AB2-2BM2 よって, AB2+AC2=2(AM²+BM² )

中線定理の証明なんですけど、どうやったら赤色の線の式から青色の線の式になるんですか？ 教えて欲しいです

B + M H AB ² + AC² = AH² + (BM+MH)² +AH² + (CM-MH)² = 2 (AH² + MH² + BM²) C (BM = CM)

何故このように変わっているのですか？

DSAKEN ②から ゆえに b=-√3のとき α= (a,b)=(-2√3/3), (23, -√3) 練習 (1) 長方形 ABCD と同じ平面上の任意の点をPとする。このとき, 等式 ②72 PA2+PC2=PB2+PD2 が成り立つことを証明せよ。 (2) △ABCにおいて, 辺BC を1:3に内分する点をDとする。このとき、 3AB2+ AC2=4AD2 +12BD が成り立つことを証明せよ。 (1) 直線BC をx軸に, 点Bを通り直線BC に垂直な直線を 軸にとると, B は原点になり, A(0, a), C(b,0), D (6,α) と 表すことができる。このとき,P(x,y) とすると PA²+PC²=(0−x)²+(a−y)²+(b−x)²+(0−y)² =x²+(y—a)²+(x−b)²+y² PB2+PD²=(0-x)+(0-y)²+(b-x)+(a-y)^ =x²+y²+(x−b)²+(y—a)² PA2+PC2=PB2+PD2 (4 したがって 48-74 別解 A(-a, b),B(-α, -b),C(a, -6), D(α, b) とすると PA2+PC2=(-a-x)+(b-y)²+(a-x)+(-b-y)^ =(x+a)²+(y−b)²+(x−a)²+(y+b)² PB²+PD²=(−a—x)²+(−b−y)²+(a−x)²+(b−y)² =(x+a)^2+(y+b)^+(x-a)^²+(y-b)² (2) 直線BC をx軸に点Dを通り直線BCに垂直な直線 をy軸にとると,Dは原点になり, A(a,b), B(-c, 0),( C(3c, 0) と表すことができる。 よって 3AB'+AC²=3{(-c-a)^+(-b)^}+(3c-α)²+(-6)^ =3c²+2ca+α²+62)+9c2-6ca+a²+62 =4m²+462+12c2=4(a²+b2+3c2) 4AD2+12BD2=4{(-a)+(-6)^}+12c2 = 4(a²+b²+3c²) ② ...... ① ① ② から 3AB²+AC²=4AD²+12BD² =(1-9- 検討△ABCにおいて、辺BC を m: n に内分する点をDと ‡¾¢_nAB²+mAC²=(m+n) (AD²+ n + -BD2 m が成り立つことが同様にして証明できる。 特に,m=n=1のとき、 次の中線定理 が成り立つ。 AB²+AC²=2(AD²+BD²) AD ← A C

教えてください🙇🏻‍♀️ cosB=2√7/7 までは分かったんですが、こっからどうすればいいか分かりません😭 字汚くてすみません

5 B △ABCにおいて、 a=√7, b=2, c=3 とする。 辺BC の中点をMとするとき、 AM の長さを求めよ。 3² + (√5)² - 2² COS 13 2 (3) (√7) w √5 2 C 2√5 7

青から赤になるのはなぜか教えてほしいです🙏

例題 73 中線定理の 四角形 ABCD の対角線BD, ACの中点をそれぞれ M. Nとすると AB²+BC²+CD²+DA²=AC²+BD²+4 MN² であることを証明せよ。 G HART & SOLUTION (線分)の問題 中線があれば中線定理 △ABD (中線 AM), △CDB (中線 CM), △MCA (中線MN) に中線定理を適用して, 証明すべき等式を導けばよい。 解 △ABD に中線定理を適用して AB'+AD'=2AM2+2BM2 △CDB に中線定理を適用して ①+② から ゆえに CD2+CB2=2CM2+2BM2 ・① AB2+BC2+CD+DA2 ② =2AM2+4BM2+2CM 2 ここで,△MCA に中線定理を適用して MA'+MC2=2MN2 + 2AN 2 B A M Z B AB²+BC2+CD+DA²=2(AM²+CM²) +4BM² = 2(2MN²+2AN²) +4BM2 =4AN²+4BM²+4MN² = AC2+BD2+4MN² B A C M C p.363 基本事項 5 M N A 線分AMは△ABDの中線 D 中線定理 △ABCの辺BCの中点を Mとすると AB2 + AC2 =2(AM2+BM2 ) A 補助線 AM,CM, MN を 引くとわかりやすい。 inf. 補助線 BN, DN, MN を引き, △BCA, △DAC, NBD に中線定 理を適用しても証明できる。 4AN²=(2AN)²=AC2 4BM²=(2BM)=BD^

2枚目が問題 3枚目が回答なんですが、私の考えた回答(1枚目)ではダメですか?? よろしくお願いします。

三平方の定理より 2 AB ² = AM ³² BM ² AC²AM ²² CM ² 5,2 AB³+ AC² 2 AM ³²+ BM ³²+ AM ²³ +CM ²2 2 AM² BM²+ CM² Mは辺BCの中点なので CM = BM CM² = BM 2 paz" AB ² + AC² -2AM ² +BM ³² + BM ² = 2AM²+2BM ² = 2 (AM² + BM²) $1² AB²+ AC²= 2 (AM²³2 BM³²)

(4)について教えてほしいです 最後から2行目までは理解できたのですが、ゆえにのあとに元々の式がAB²＋AC²だったのがAB²-AC²になってなぜそれが2BP²になると分かるのですか？

149 EX ③52 △BPR 2 ACQR - よって したがって 1/12/CF ･CR･QR sin O ● ● 2 PQ 1 1 QR 3 (1) △BPR と直線 QC について,メネラウスの定理により BC PQ RA CP QR AB SU △ABCの辺BCの垂直二等分線が辺BC, CA, AB またはその延長と交わる点を,それぞれP. Q,Rとしたとき, 交点 R が辺ABを1:2に内分したとする。 HORTE ( (1) PQ QR を求めよ。 (2) AQ: QC を求めよ。 (3) AP: BQ を求めよ。 (4) AB2-AC2 を BC で表せ。 -=1 = =1 PR BR RQ RC PQ:QR=3:2 || = ゆえに 5 75 PQ IQR || = || 32 ←A ® を代入。 *DA+ B 2 [類 神戸女学院大] Q R P 1- A

ベクトルです。 分かる方教えてください🙏

基礎問 244 第8章 ベクトル 158 ベクトルと図形 Ter 平面上に1辺の長さがkの正方形 OABC がある. この平面上に ∠AOP=60° ∠COP=150° OP=1 となる点Pをとり 線分 APの中点をMとする. OA=d, OP= ♪ とおいて,次の問いに答えよ. (1) 線分 OM の長さをkを用いて表せ. (2) OC をka, p を用いて表せ. (3) AC と OM が平行になるときのkの値を求めよ. 精講 (1) 基本になる2つのベクトル a, に対して, lal, lnl. apがわ かるので, OM をa, j で表せれば解決です ( 151) あるいは, APを求めて中線定理(数学Ⅰ・A77) を使う手もあります。 (2) 内積がからみそう (角度の条件があるから)なので OC = sa + tp とおい てスタートします。 (3) AC, OM を で表して, 係数の比が等しくなることを使います。 解答 OM=a+px" (1) |OMP=la+pr 149 1/12(+216円) |ã|=k, |ß|=1, â·ß=|ā||p|cos 60" = だから OM= [R+k+1 yk^²+k+1 4 2 (2) OC sa+ip とおくと, OC･a=0 だから (sa+tp)-a=0 slap+ta.p=0 2k's+kt=0 245 k0 だから, 2ks+t=0 3 次に,OC=|0| | cos150°=-- 2 2(sa+tp).p=-√3k 2(sa p+t|p²)=-√3k ks+2t=-√3k 1-2/3 ①.②より, s=1 3 よって,OC=3a2/3 3-kp 3 OP=mOA+nOC とおいて, 解答と同じようにして,m,nを求 めたあと, 「OC=…..」 と変形する方が少し計算がラクになります。 a) AC-OC-OA-(3-1)-2√3 kp OM=1/12/2+1/12/11 より AC/OM のとき、 ONのとき) ここの変形が ポイント -1=2√3k 3 3 分からないです.. √3-1 k= ポイント ①0ax のとき だから 演習問題 158 ma+nb // m'a+n'b (mnm'n'+0) 2 m:n=m' : n' 平面上の3点A(2, a) (3<a<10), B(1, 2), C (6, 3)について, (1) 四角形 ABCD が平行四辺形のとき, Dの座標をαで表せ。 次の問いに答えよ. (2) (1) のとき, 直線AD 上の点E で CD=CE となるものを求め (3) 2つの四角形ABCD と四角形 ABCE の面積比が4:3のと EがADの内分点であることを示せ。 ただし, ED とする. き, α の値を求めよ. 第8章