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例題140 置換積分法 (1)
次の不定積分を求めよ.
(1) Sx(2x-1) dx
「考え方
解答
S
dx = 1/2*1).
より
dt
よって,
805- (Biel
(1) 展開するのではなく, 2x-1=t とおいて考える.
(2)√x=tとおく(√x-1=t とおいてもよい)
C は積分定数とする.
(1) 2x-1=t とおくと,
t+1
x=-
mm²n
=dt
dx=
168
(2)√x=t とおくと,
dx
-=2t より,
dt
よって,
min
t+1
Sx (2x - 1)³dx=S1-11
2 2dt
-t°(6t +7) +C= 1
168
= ¼/S (tº +t³) dt =
- t ³)dt = 1 + 1 € + 1 + 1 + + C
47
46
(2)
x=t2
dx=2tdt
S√/₁₁²_₁dx=S₁²₁ · ²tdt
~
(別解) x-1=t とおくと,
dx
-2t+2 より,
dt
1
Sdx
1
2 置換積分法と部分積分法 309
-(2x-1)(12x+1)+C
[2(t-1)+2 dt = √(2 + ₁ 2²₁) dt
t-1
=2t+2log|t-1|+C=2√x+log(√x-1)'+C
-dx
x = t2+2t+1
KATAL
=2√x+10g(√x-1)+C
dx=(2t+2)dt
1200=1
A nie
Sxdx=Sz(2x+2)at=S(2+2)at
=2t+2log|t|+C'′=2(√x-1)+210g|√x-1|+C′
****
12th
両辺をtで微分する.
RED3
12dt を微分形式と
いう. (p.307 参照)
dx に 1/2dt を代入す
る。
最後はxの式に戻す.
m
mmmmmmmmm
2tdt を微分形式と
いう. (p.307 参照)
dx に 2tdt を代入す
る.
fdx=log|x|+C
最後はxの式に戻す.
x=g(t) とおくと (f(x)dx=Sf(g(t))g' (t)dt
dx に (2t+2)dt を
代入する.
C'′-2=Cとしている.
最後はxの式に戻す.
第5章
