基本 例題 26 比例式の値
00000
y+z
z+x=
x+y
のとき、この式の値を求めよ。
x
y
基本25
CHART & SOLUTION
比例式はんとおく
等式の証明ではなく,ここでは比例式そのものの値を求める。
y+z=z+x=x+y=kとおくとy+z=xk, z+x=yk, x+y=zk
x
y
2
この3つの式からkの値を求める。 辺々を加えると,共通因数 x+y+z が両辺にできる。
これを手がかりとして, x+y+z またはの値が求められる。 求めたんの値に対しては,
(母)≠0(x=0, y = 0, z≠0) を忘れずに確認する。
解答
分母は0でないから
xyz=0
y+z=z+x=x+y=kとおくと
x
y z 0> 0<
y+z=xk...1,z+x=yk...②, x+y=zk ③
①+②+③ から
よって
ゆえに
2(x+y+z)=(x+y+z)k
(k-2)(x+y+z) = 0
k=2 または x+y+z=0
[1] k=2 のとき
① ② ③ から
←xyz≠0
x≠0
かつ y≠0 かつ z=0
d
$100.0
y+z=2x... ④, z+x=2y… ⑤, x+y=2z… ⑥
④ ⑤ から y-x=2x-2y
よって x=y
x+x=2z
よって x=2
x+y+z が 0 になる可
能性もあるから, 両辺を
これで割ってはいけな
い。
これを⑥ に代入すると
したがって
x=y=z
x=y=z かつ xyz ≠0 を満たす実数x, y, zの組は存在する。
[2] x+y+z=0 のとき
y+z=-x
k=y+z=-x=-1
よって
XC
XC
[1], [2] から, 求める式の値は 2, -1
O
例えば x=y=z=1
例えば, x=3, y=-
z=-2 など,xyz
かつ x+y+z=0
たす実数x, y, zの
存在する。
