例題68 三垂線の定理の利用
OCHAC, OC⊥BC で, AB=2,OC=√6の三角錐
OABCがある。 頂点Oから,辺 AB に垂線 OH を引く
と OH の長さが3になった。 このとき,四面体
OABC の体積を求めよ。
I
OCHAC, OC⊥BC より。
また,
OH⊥AB
よって, 三垂線の定理から,
①より, OC⊥CH であるから,
したがって 求める体積は,
1/1×△ABCXOC=1/3×(1/2×2×√3×√6-√2
622.AD=2,AB=3, AE=1 の直方体
OC⊥平面ABC ...... ①
ん、エロエ,こめるか、
平面 PBHはmに垂直であり, PHは平
面PBH上にあるから、
CH⊥AB
ABCDEFGH がある。 点Fから線分 AC に
垂線 FP を引くとき, 次の問いに答えよ。
□(1) BP ⊥AC を示せ。
口 (2) 四面体 BCFP の体積を求めよ。
CH=√
BCP AC より,
BP:3=2:√13,
CP=√BC2-BP 2
=√3²-(√6)²=√√3
=
PH⊥m ......②
mは平面上にある交わる2直線であり, ① ② が成り立つか
PH⊥α
BP : AB=BC : AC
6
BP=13
-√13
6
4
√2²-(-√3)² = √13
122-
13
A
E
よって、求める体積は,
4
4
6
1/2 × △BCP XBF-/1/1×(1/1×赤× 1/15)×1/13
x1=
=
√13
D
H
622 (1) BF (平面ABCD), FP⊥AC であるから, 三垂線の定 (1) 三垂線の定理を用いて示す。
理により,
BP⊥AC
(2) AC=√/22+32=√13
IB
7
*B
より。
F
→例題 68
nil.nimemのとき
niα すなわち, nはα上の
任意の直線と垂直である。
G
P
A
OP⊥α, PH⊥l ならば,
OHI
② ∠BCP = ∠ACB
∠BPC=∠ABC(=90°)
