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平面に垂直な直線
B,C とする.
4 空間図形 50
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1点で直交する3つの半直線OX, OY, OZ と 平面βとの交点をそれ
それ A,
(2)
(1)
△ABCの垂心Hに対して, OH⊥平面 β であることを証明せよ。
OA=a, OB=2a, OC=3a のとき,△ABCの面積と, 点Oから平
面βまでの距離を求めよ.
_三角形の垂心は3頂点から対辺に引いた3つの垂線の交点である。
OH⊥平面 β 平面β上の交わる2直線が OH に垂直
CHの延長と AB の交点をDとすると, CD⊥AB
さらに,CO⊥平面 OAB であるから,三垂線の定理
ODIAB
ocus
したがって, 平面 COD⊥AB であるから,
OHLAB
同様に, BH の延長とACの交点をEとする
と、平面 BOELAC であるから,
E
10
OH⊥AC•••... ②
① ② より OH は AB, AC に垂直となるか
A
D
ら,OH⊥平面 ABC
よって, OH⊥平面β
1
(2)△OAB= -×ABxOD=
0=1/2xOAXOBより、
2
ABX OD OAX OB
ここで,AB=√OA'+OB2=√5a より,
2
√5axOD=ax2a
OD=
-a
5
したがって,
OA=a
OB=2a
よって
CD=OC+OD=154
7
△ABC-12x5ax150=120
(三角錐 O-ABC) = 12
△ABC=×AB×CD
=/13 ×△ABC×OH=/13 × △OAB×CO より、
△ABCX0H=△OAB×CO
x3a D, OH=a
よって、12/20xOH= (1/2xax2a)×30
