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基本 例題 92 ある変域で不等式が常に成り立つ条件
基本 64
0≦x≦2の範囲において、 常に x-2ax+3a> 0 が成り立つように、 定数 α
の値の範囲を定めよ。
CHART & T HINKING
x 2の係数は正。「常にx²-2ax+30 が成り立つ」
ことから、図1のように単にD<0 とするのは間
違い! 0≦x≦2の範囲」 となっているから,
D>0 で図2のような場合も起こりうる。
「ある変域でf(x)>0
(変域内の最小値)>0」
と考えてみよう。文字を含む 2次関数の最小値は
どのように求めればよかっただろうか。 p. 114 基本例題 64 参照。
解答
f(x)=x2-2ax+3a とする。
求める条件は, 0≦x≦2の範囲における関数 y=f(x) の最
小値が正であることである。
f(x)=(x-a)^-a²+3a であるから, y=f(x)のグラフは
下に凸の放物線で, その軸は直線 x =α である。
[1] a<0 のとき
f(x)はx=0 で最小となる。
よって
(0)=3a0
[2] 0≦a≦2のとき
f(x)はx=αで最小となる。
よって f(a)=-a²+3g> 0 すなわち
これを解くと,α(α-3) < 0 から
これと 0≦a≦2の共通範囲は
0<a<3
2a≦2
しとうごるは?
[3] 2 <a のとき
f(x) は x=2で最小となる。
よって f(2) =4-a>0
これと 2 <a の共通範囲は
2<a<4
・②
求めるαの値の範囲は、①と②
を合わせて
0<a<4
これは α<0 を満たさない。
ゆえに
V
0
a<4
2
a²-3a<0
図1
①
4
a
x 0
2
J
図2
[1] 軸が変域の左外
V.
a
0 2x
[2] 軸が変域の内部
0 a 2
[3] 軸が変域の右外
V
a
0
2
x
x
