基本 例題 85 放物線がx軸から切り取る線分の長さ
00000
(1) 2次関数 y=-x+3x+3のグラフがx軸から切り取る線分の長さを決
めよ。
(2) 2次関数y=x-2ax+α-3 のグラフがx軸から切り取る線分の長さ
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は,定数αの値に関係なく一定であることを示せ。
CHART & SOLUTION
2次関数のグラフがx軸から切り取る線分の長さとは
グラフがx軸と異なる2つの共有点をもつときの,
2つの共有点で区切られたx軸の一部分の長さ
のことである。つまり、グラフとx軸の共有点のx座標が
α,βでα<β とすると, 切り取る線分の長さはβ-α
(2)(1)と同様に求め, 長さにαが含まれないことを示す。
解答
(1) -x2+3x+3=0 を変形して x2-3x-3=0
カー
B-a
a
基本 83
これを解くと
x=
3±√21
2
よって, x軸から切り取る線分の長さは
$30
3+√213-21
=√21
2-9)-(-2
(2)x2-2ax+α²-3=0 を xについて解くと
x=−(−a)±√(−a)²−1·(a²−3) <st
=a±√3
よって, x軸から切り取る線分の長さは
(a+√3)-(a-√3)=2√3
したがって, 定数αの値に関係なく一定である。
ax2+bx+c=0 の判別式を
D=62-4ac とすると
(1) D=32-4・(-1)・3
CD
=21>0
(2) =(-a)²-(a²-3)
eck=3>0
であるから,(1),(2) ともx
軸と共有点を2個もつ。
(2) y=(x-α)2-3である
から, αの値が変わると
グラフはx軸に平行に動
く。 よって、x軸から切
り取る線分の長さはαの
値に関係なく一定である。
