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基本 例題 最大公約数 最小公倍数と数の決定 (2)
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00000
次の(A), (B), (C) を満たす3つの自然数の組 (a, b, c) をすべて求めよ。ただし,
la<b<c とする。
(A) a, b, c の最大公約数は6
(B) bとcの最大公約数は24, 最小公倍数は144
aとbの最小公倍数は 240
(C) a
4章
17
[専修大]
p.476 基本事項 3 基本 110
指針 前ページの基本例題110と同様に, 最大公約数と最小公倍数の性質を利用する。
2つの自然数a,b の最大公約数を g,最小公倍数を1, a=ga', b=gb' とすると
1 a'と'は互いに素
2l=ga'b'
3ab=gl
(A)から, a=6k, b=6l,c=6mとして扱うのは難しい(k,l, mが互いに素である,とは
仮定できないため)。(B) から 6, c, 次に, (C) からαの値を求め, 最後に (A) を満たすものを
解とした方が進めやすい。
このとき,b=246′,c=24c' (b','は互いに素でB'<c) とおける。
これから6', c を求める。
最小公倍数について 246'c'=144
HO
約数と倍数、最大公約数と最小公倍数
解答
(B)の前半の条件から,b=246′,c=24c′ と表される。
ただし, 6', c'は互いに素な自然数でB'<c′
①
(B)の後半の条件から
246′'c'=144 すなわち
b'c' = 6
gbc=
これと ①を満たす 6', ' の組は
(b', c')=(1, 6), (2, 3)
ゆえに (b, c)=(24, 144), (48, 72)
(A)からは2と3を素因数にもつ。
また,(C) において 240-24-3.5
[1]624=23) のとき, αと24の最小公倍数が240 であ
るようなαは a=24.3.5
これは, a<bを満たさない。
[2] 6=48(23) のとき, aと48の最小公倍数が240 であ
るようなαは
a=2・3・5 ただし p = 1,2,3,4
<48 を満たすのはp=1の場合で,このとき
304872 の最大公約数は6, (A) を満たす。
以上から
(a,b,c) = (30,48,72)
a=30
b=246′,c=24c'
最大公約数は6=23
240-24-3.5
[1] 6=23.3
[2] b=24-3
これからαの因数を考え
る。
自然数の組 (a, b, c) をすべて求めよ。 ただし,