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問題 261 最大公約数 最小公倍数からの2数の決定
思考プロセス
次の条件を満たすような2つの自然数の組をすべて求めよ。
(1) 和が 117, 最大公約数が 13
(2) 積が 864, 最小公倍数が 144
候補を絞り込む
2数a,b の値を,和,積, 最大公約数 (g), 最小公倍数 (1) の条件から求める。)
共
① a=dg, b=b'ga' と'は互いに素な自然数)... (*)とおき
条件式, a'b'g= l, ab = gl
から, d' と'の関係式をつくる。
② d′,6′ が互いに素な自然数であることから,d', '′ の組を絞り込む。因
Action>> a,
★★☆☆
の最大公約数が gならば、a=dg, b=b'g(d′と 6′ は互いに素)とおけ
解 (1) 2つの自然数をa, b (a ≦b) とおく。
aとbの最大公約数が13であるから
a=13α′, b=136' (d' と'は互いに素な自然数)
a+b = 117
α' + 6′ = 9 ①
とおける｡
このとき, a≦b より d'b'
また,2数の和が117 であるから
よって 13α′+136′= 117 より
① を満たす互いに素な自然数の組(d'′,6′) は
(1, 8), (2, 7), (4, 5)
3と6は互いに素ではな
よって、求める2つの自然数の組(a,b) はいから, d' と'の組では
ない。
(13,104), (26,91),(52,65)
(2)2つの自然数をa, b (a ≦b), 最大公約数をg とおく。
2数の積が864 であるから
ab = 864
1
最小公倍数が 144 であるから 144g = ab
① ② より, 144g864 であるから
g = 6
よって, a=6a', b = 66′(d' と'は互いに素な自然数)
a ≤ b'
とおける。このとき, α≦b より
①より, 6α' × 66′ = 864 であるから d'b' = 24 ... ③
③ を満たす互いに素な自然数の組 (d'′,6′) は
(1, 24), (3, 8) 24
よって 求める2つの自然数の組(α, b) は
(6,144), (18,48)
...
a = b ならば aとbの最
大公約数はαであるから,
a=b=13 となり,和が
117 であることに反する。
よって, a < b とおいて
もよい｡
MAXROO
2数αとの最大公約数
をg, 最小公倍数をLとす
ると glab
2124
6は互いに
素ではないから, d' と'
の組ではない。
(1)
思考プロセス
