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p は実数の定数とする。 点 (1, p) を通り, 関数y=x²-2x²のグラフに接する異
なる直線は何本あるか。 pの値により場合分けして答えよ。
ヒント
解答
2
pは実数の定数とする。 点 (1, p) を通り, 関数y=x^2x²2 のグラフに接する異
なる直線は何本あるか。 pの値により場合分けして答えよ。
解答
y=x^2x²のとき
3
y'=4x²-4x
より, y=x^²-2x²の点 (s, s4-2s2) における接線の方程式は
y=(4s3-4s) (x-s) +s4-2s2
=(4s3-4s) x-3s +2s2
と表せる。 この直線が点 (1, p) を通るとき, sについて
p = (4s3-4s) -3s + 2s2
∴. - 3s +4s' +2s2-4s = p
となる。 そこで
f(s) = - 3s' + 4s3 +2s2 - 4s
とおき,
y=f(s) のグラフと直線y=pの共有点の個数を考える。
f' (s) = -12s' + 12s2 + 4s - 4
=-4(s-1)(3s²-1)
= pの解の個数を考える。 すなわち,
方程式f(s)
より, f'(s)=0 となるsの値は
1
坊
3
であるから, f(s) の増減は下の表のようになる。
s = 1, ±
<曲線y=f(x) 上の点
(t, f(t)) における,
この曲線の接線の方
程式は
y=f(t)(x-t)+f(t)
f(1) = 0
であるから, 因数定理
より, f'(s) は s-1を
因数にもつ。