赤で囲ったところが、全く分かりません。 詳しく説明お願いします。 内容が全く入ってきません。

64 OOOD 重要 例題 1062円の共通接線 円C:x+y=4とC2: (x-5)2+y2=1の共通接線の方程式を求めよ。 指針 1つの直線が2つの円に接するとき, この直線を2円の共通接 線という。 共通接線の本数は2円の位置関係によって変わるが,この問題 のように,2円が互いに外部にあるときは, 共通内接線と共通 外接線がそれぞれ2本の計4本がある。 また, 共通接線を求めるときは, C上の点(x,y)における接線xix+yiy=4 円 C2 にも接する と考えて進めた方がらくなことが多い。 解答 円上の接点の座標を (X1, y) とすると x2+y²=4 .... (2) 接線の方程式は x₁x+y₁y=4 直線②が円 C2 に接するための条件は (50) とであるから よって C2 の中心 ②距離が, 円 C2の半径1に等しいこ [51-4] √x₁² +1₁ ² を代入して整理すると 5xì-4=+2 X1 = のとき、①から 5 2 XI=. のとき、①から =1 151-4|=2 したがって 64 Vi 6 2 x1= " 5 5 y₁²=. ゆえに よって G Vi=± 96 25 ゆえに、②から, 求める接線の方程式は 6 10/01/22 = 4, 1/23 x 165/60y=1 すなわち3r±4y=10,x±2√6y=10 8 -y=4, 4√6 -x+ -y=4 5℃± 5 31= +4√6 5 A

(2)と(3)が解説を読んでもなぜ異なる2つの実数解を持つという条件が必要かわかりません。 教えてください🙏

基礎問 150 95 接線の本数 3/ 曲線C:y=x-x 上の点をT(t, ピ-t) とする. (1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ. 点A(a, b) を通る接線が2本あるとき, a, bのみたす関係式 を求めよ.ただし、a>0, b=d-α とする。 (3) (2)のとき、2本の接線が直交するようなα, bの値を求めよ. 精講 (2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は、 接点の個数と一致し ます. だから, (1) の接線にA(α, b) を代入してできるtの3次方 程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの 考え方は 94 注 で学習済みです. (3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します。 1つは(2)で求めてあるので,あと1つですが,それが 「接線が直交する」 を式にしたものです。 接線の傾きは接点における微分係数 (83)ですから、 2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります. 解答 (1) f(x)=x-x とおくと, f'(x) =3㎡²-1 よって, Tにおける接線は, y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t) ∴.y=(3t2-1)x-2t3 (2) (1) の接線は A (a, b) を通るので b=(3t²−1)a-2t3 ∴.2t3-3at2+a+b=0 •••••• ......(*) (*)が異なる2つの実数解をもつので, g(t)=2t-3at2+a+b とおくとき, y=g(t) のグラフが、極大値、極小値をもち, (極大値)×(極小値)=0 であればよい. 94 注 g'(t)=6f2-6at=6t(t-a) g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから 185 y=x²-x| 2.05./000 A(a,b){ a≠0 (909(a)=0) b=d-a, a>0 だから、a+b=0 (3) (2) のとき(*) より, t2 (2t-3a) = 0 参考 ポイント 2本の接線の傾きはf'(0),(2) だから,直交する条件より 13a 150 (0) (22)=-1 (− 1)(²77a²-1)=-1 a²= 8 27 a>0 より α =- 2√6 9 a=0 演習問題 95 [(a+b)(b-a³+a)=0 . b=. 2√6 9 3次関数のグラフに引ける接線の本数は 接点の個数と一致する <a≠0 は極値をもつ ための条件 3次曲線Cの変曲点 (88) における接線をひと するとき, 476519 斜線部分と変曲点からは1本引ける 実は、3次関数のグラフに引ける接線の本数は以下のようになるこ とがわかっています. 記述式問題の検算用やマーク式問題で有効で す。 ・Cとl上の点(変曲点を除く)からは2本引ける 青アミ部分からは3本引ける 151 曲線 y=x-6.x に点A(2, p) から接線を引くとき、次の問いに 答えよ. (1) 曲線上の点T(t, ピー 6t) における接線の方程式を求めよ. (2) pt で表せ. (3) 点Aから接線が3本引けるようなかの値の範囲を求めよ. 第6章

こちらの問題についてです。答えは以下の通りなのですが、なぜそのようになるのか分かりません。教えていただきたいです🙏🏻

(2) 4点O, M, C, D は同一円周上にある。 185 2つの円 0, 0′ の半径はそれぞれr, 3であり、中心間の距離は7である。 r 教 p.94 問15の値で場合分けして､ 2つの円の位置関係を述べよ。 また, 共通接線の本数を 答えよ。

三次曲線はなぜ接点の個数と接線の本数が一致するのですか？

左下から右上の式変形が理解できません。 教えていただきたいです🙇‍♂️

ニューステージ IA+ⅡB y=(t) のグラフと直線y=kが相異なる2つの 共有点をもつことである。 このとき、 右の図から 78 k0 シス 8 同様に考えて、 右の 図から、点Pを通る 接線の本数は k=5のとき1本, k=-2のとき 3本、 k=-12のとき 1本 である。 となることである。 ここで f'(x)=0 とすると y=5 O y=-2 251(不等式の成立条件) f(x)=x-a(x2-α)とおく。 すべてのx(x≧0 に対して, 与えられた不等式 ) が成り立つための条件は,x≧0 において (f(x) の最小値) ≧0 x 0 -8 f'(x) =3x2-2ax=x(3x-2a) f'(x) 0 f(x) 1 2 x=0, a [1] [1/30 ≦0 すなわち as 70 のとき 028 x≧0 においてf'(x) ≧0であるから, f(x) は 単調に増加する。 よって, f(x)はx=0で最小となる。 ゆえに,不等式が成り立つための条件は f(0) 20 すなわち 2≧0 1-10 これはすべての実数a に対して成り立つ。 よって a≤0 [2] 12/34 > 0 すなわちa>0のとき x≧0 におけるf(x) の増減表は次のようにな る。 3 2 ga -a³ 27 0 + オ 極小 2 よって, f(x)はx= αで最小値をとる。 3 ゆえに,不等式が成り立つための条件は 7/3/30) 20 8 すなわち 2010-0) 20 al 整理して a>0であるから 27 0<a</ a>0と合わせて [1] [2] から 求めるαの値の範囲は オカ 27 +4 a² (a-27) ≤0 4 252 (不定積分) (1) S (x+3-7)dx a≦ =1/1/3+1/23x27x+C(Cは積分定数) (2) f'(x)=(3x+2) であるから f(-1) = 0 から f(x)=f(3x+2)dx=$(9x2 +12x+4)c =3x3+6x2+4x+C (Cは積分定数 3・(-1)+6・(-1)²+4・(-1)+C=0 よって C=1 ゆえにf(x)=3x3 +6x2 +4x+1 (3) f'(x)=2xから = f(x)=2xdx=x2+C (Cは積分定数 曲線 y=f(x) が点(0, 1) を通るから f(0)=1 よって C=1 ゆえにf(x)=x2+1 (4) 27 a-47/50 253(定積分) (1) S(3x2+4x-5)dx=[x+2x²-5x]=78 (2) x4 4 CHECK - ウ 27 4 2f'(x-1)dxf (2x-3)dx =S, {2(x-1)-(2x-3)|dx=f1dx=[x]=" (3) S_(x+1)x−2)°dx=f(x)] -x³+4x 24 - (-1)4 4 3 254 (x³-3x²+4)dx --{23-(-1)3}+4{2−(−1)} Slx(x+2}\dx * = -√°, (x² + 2x) dx + √²³ (x² + 2x)dx

なぜ赤で囲われたところのように導けるのですか？

可礎問 150 第6章 95 接線の本数 曲線C:y=-x 上の点を T(t, f-t) とする. (1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ. (2) 点A(a,b) を通る接線が2本あるとき, a, bのみたす関係式 を求めよ.ただし, a>0, b=α-a とする. (3) (2) のとき, 2本の接線が直交するようなα, b の値を求めよ. 精講 (2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は、接点の個数と一致し ます.だから, (1)の接線に A (a, b) を代入してできるtの3次方 程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの 考え方は 94 注で学習済みです。 (3) 未知数が2つあるので,等式を2つ用意します。 1つは (2)で求めてあるので,あと1つですが,それが「接線が直交する」 を式にしたものです. 接線の傾きは接点における微分係数 (83) ですから, 2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります. 解答 (1) f(x)=x-x とおくと,f'(x)=3x²-1 よって, Tにおける接線は, y−(t³—t)=(3t²-1)(x− t) ∴.y=(3t2-1)x-2t3 (2) (1) の接線は A (a, b) を通るので b=(3t²−1)a-2t3 :. 2t³-3at²+a+b=0___······(*) (*)が異なる2つの実数解をもつので g(t)=2t3-3a2+a+b とおくとき, y=g(t) のグラフが,極大値、極小値をもち, (極大値)×(極小値)=0 であればよい. 94 注 g'(t)=6t2-6at=6t(t-a) g'(t)=0 を解くと, t = 0, t = a だから 85 y=x³- A(a,b) f (t,t³-t)

写真の赤線部分の「Cとℓ上の点」とはどこの部分を指すのでしょうか？ (説明では、変曲点をCとしているのに、グラフの右上にはCと書いてあるので、混乱しています。)

参考 ポイント 3次関数のグラフに引ける接線の本数は 接点の個数と一致する ● 実は、3次関数のグラフに引ける接線の本数は以下のようになるこ とがわかっています. 記述式問題の検算用やマーク式問題で有効で す。 3次曲線Cの変曲点 (88) における接線をと するとき, ・斜線部分と変曲点からは1本引ける ・Cとl上の点(変曲点を除く)からは2本引ける 青アミ部分からは3本引ける 2 第6章

赤の下線を引いた部分がなぜそうなるのか教えてください！数学得意な人お願いします！！

2 p は実数の定数とする。 点 (1, p) を通り, 関数y=x²-2x²のグラフに接する異 なる直線は何本あるか。 pの値により場合分けして答えよ。 ヒント 解答 2 pは実数の定数とする。 点 (1, p) を通り, 関数y=x^2x²2 のグラフに接する異 なる直線は何本あるか｡ pの値により場合分けして答えよ。 解答 y=x^2x²のとき 3 y'=4x²-4x より, y=x^²-2x²の点 (s, s4-2s2) における接線の方程式は y=(4s3-4s) (x-s) +s4-2s2 =(4s3-4s) x-3s +2s2 と表せる。 この直線が点 (1, p) を通るとき, sについて p = (4s3-4s) -3s + 2s2 ∴. - 3s +4s' +2s2-4s = p となる。 そこで f(s) = - 3s' + 4s3 +2s2 - 4s とおき, y=f(s) のグラフと直線y=pの共有点の個数を考える。 f' (s) = -12s' + 12s2 + 4s - 4 =-4(s-1)(3s²-1) = pの解の個数を考える。 すなわち, 方程式f(s) より, f'(s)=0 となるsの値は 1 坊 3 であるから, f(s) の増減は下の表のようになる。 s = 1, ± <曲線y=f(x) 上の点 (t, f(t)) における, この曲線の接線の方 程式は y=f(t)(x-t)+f(t) f(1) = 0 であるから, 因数定理 より, f'(s) は s-1を 因数にもつ。

(3)の2行目「2本の接線の傾きは~だから,」とありますがそれはどこから分かるのでしょうか？問題は添付してあります。

151 Jaキ0 l9(0)g(a)=0 aキ0 (a+b)(b-+a)=0 Aaキ0 は極値をもつ ための条件叫 bキーa, a>0 だから, a+6=0 13)(2)のとき(*)より,ぜ(2t-3a)=0 2本の接線の傾きはf(0), f() 3a だから,直交する条件より 2 3a s(0)s()--1 27 2 -1 8 27 2/6 2,6 a>0 より,a= 6= 9 9

この問題がわかりません。 全体を分かりやすく説明してくださると嬉しいです。 また、特に線を引いた部分がよくわかりません どうしてこの式が出てきたのでしょうか?? よろしくお願いします🙇‍♀️💦💦

第9章 微分法·積分法 59 Set Up 59 xy平面上の点 (a, b) を通り, 曲線 y=-x°+x に3つの相異なる接線が引けるとき、 点(a, b) の存在範囲を図示せよ。 (類南山大) 指針 接点が与えられていないので, 接点の座標を(t, -ピ+t) とおく。 点 (t, -ゼ+t)にお ける接線が点(a, b) を通るので, 接線の式に代入する。 A 3次曲線では接点が異なると接線も異なるので, (接点の個数) %3 (接続の本数) がいえる。 3次方程式が異なる3つの実数解をもつ条件は (極大値) × (極小値)<0である。 B) (極大値)×(極小値)<0 の条件を連立不等式で表し, 領域を図示する。 ………C ソ=ーx°+x から ゾ=-3x°+1 曲線上の点(t, ーパ+t)における接線の方程式は yー(-ド+t)=(13+1)(x-t) すなわち y=(-3+1)x+2t° この直線が点(a, b) を通るから 6=(-3°+1)a+2t° 2-3at+a-6=0 よって 3次曲線では、接点が異なると接線も異なるから, tの方程式 ① の実数解の個数が,点(a, b) を通る接線の本数である。 ゆえに,接線が3本存在するには, ① が異なる3つの実数解をも てばよい。 f(t)=D2t°-3at?+a-bとする。 3次方程式f(t)30 が異なる3つの実数解をもっ条件は, 3次関 数f(t) が極値をもち, 極大値と極小値の積が負となることであ 3次方程式が異なる3つの実 数解をもつ条件は (極大値)×(極小値)<0 a=0 のとき極値をもたない ので、注意が必要。 る。 f'(t)=6t°-6at=6t(t-a) であるから, a=0のとき f(t) は極値 をもたない。 aキ0のときf()) はt30, aで極大値と極小値をとる。 よって,Dが異なる3つの実数解をもつ条件は aキ0 かつ f(0)S(a) <0 (a-b)( a-b)<0 (0)S(a) <0から [aーb>0 ー+a-b<0 a-b<0 よって または ー+a-b>0 わくa b>a ゆえに または b>-a°+a b<-a+a このとき,aキ0を満たす。 したがって,求める領域は 図の斜線部分。 ただし、境界線を含まない。 不等式で表された領域を図示 b4 b=a する。直線6=aは曲線 6=-a'+aの原点における 接線になっている。 曲線の上 a 下関係に注意。 (IC)では放物線と直線が2点 で交わっていた) a3ta