例題
75
三角形の外心
直角三角形でない △ABC において, 辺 BC, CA, AB に関して外心Oと対称な
点をそれぞれP, Q. Rとする。 0は △PQR についてどのような点か。←例題74
A
指針 まず、図をかいて, 四角形 ARBO に注目してみよう。
Rは辺 AB に関してOと対称
OR は辺 AB の垂直二等分線
同様に,四角形 AOCQ も平行四辺形である。四角形 RBCQ に注目。
四角形 ARBO は,対角線がそれぞ
れの中点で交わるから平行四辺形。
R
ele-
B
C
A
解答 線分 ABと線分 RO はそれぞれの中点
で交わるから,四角形 ARBO は平行
四辺形である。よって
LAA
R
Q
の
RB/AO, RB=AO
同様にして、四角形 AOCQ も平行四
辺形であるから
|(線分 ACと線分Q0
はそれぞれの中点で
交わる。
9:95
2
B
C
AO/QC, A0=QC
0, 2 から
よって、四角形 RBCQ は平行四辺形であるから RQ/BC
RB/QC, RB=QC
P
1組の対辺が平行で、
これと OPIBC から
OPIRQ
長さが等しい。
同様にして
0QIPR, ORIQP
内分ることく
したがって,Oは △PQR の垂心である。
参考 直線上の点Xについて, lに関してXと対称な点はX自身
であると考えるならば, 上の議論は △ABC が直角三角形の m
0-場合も成り立つ。
