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第5章■仕事と力学的エネルギ
リード] D
110 保存力以外の力の仕事 図のように床と斜面
がつながれている。 床のAB間はあらいが、他はなめら
かである。 床の一部分にばね定数kのばねをつけ, 一端
に質量mの物体を押しあてて、 ばねを縮めた。 AB間
の物体と床との間の動摩擦係数をμ',距離をS, 重力加速度の大きさをgとする。
(1) ばねを解放したとき, 物体が点Aに達する直前の速さを求めよ。
Ammun B
(2) 物体は点Bを通過後,斜面を上り, 最高点Cに達した。 Cの床からの高さんを求めよ。
もどってきた物体がばねを縮めた。ばねの最大の縮みxを求めよ。
→例題 24,113
応用問題
112 仕事と運動エネルギー■ 質量2.0kgの物体が,
なめらかな水平面のx軸上の原点Oを速さ3.0m/sで通過
した瞬間から,速度の方向を含む鉛直面内で一定の角0だ
け上向きに力F [N] を加えた。 力Fの大きさは移動ととも
に右のグラフのように変化する。 また, cos0=0.80 とす
る。
111 力学的エネルギーの保存
ばね定数k [N/m] の軽いつる
巻きばねの一端を固定し、他端に質量m[kg] のおもりをつるして,
おもりを下から手で持った台で, ばねが自然の長さになるように支
える。 重力加速度の大きさをg[m/s'] とする。
(1) 台をゆっくりおろしていくとき, x [m] だけ下がった位置で台
がおもりを支える力の大きさ F [N] を求めよ。
(2) おもりが台から離れるときのばねの伸びx] [m] を求めよ。
つりあい
(3) はじめの状態で台を急に取り去った場合, 最下点でのばねの伸びx2 [m] を求めよ。
(4) おもりの最下点について, x1 と x2 の差が生じた理由を述べよ。
➡115
(1) 力Fが物体にした仕事Wは何Jか。
(2) 物体が x=10m の点を通過する瞬間の速さは何m/s
か。
0
F[N]
8.0
2.0
0
mmmmmm
10m
自然の長さ
CQ
10
lllllllllll
h
■■
■■
x (m)
-102
ヒント 112 カFの分力 Fcose のみが仕事をする。 (F-x 図の面積) × cos0が,Fのした仕事となる。
てい
mi
と
放した
の
化を
Imgs
111
112
ここがポイント
軽いつる巻きばねなのでばね自身の重さは無視できる。 これはばねを縦につるしても、おもりを取
りつけなければばねは伸びないということである。
(1) おもりを支えながら台をおろしていく場合、 おもりは台が上向きに支える力によって仕事をされ、
力学的エネルギーは保存されない。
(1) 台をゆっくりおろしているので, おもりは等速運
動をしている。 よって, おもりにはたらく力はつ
りあっている (おもりにはたらく力の合力は0であ
る) から,上向きを正として, aより力のつり
あいの式はkx+F-mg=0
ゆえに F=mg-kx [N]
(2) 台がおもりを支える力が0になるとおもりは台か
ら離れる。 (1) の結果において, x=xのとき
F0 となるから
(3) 台を急に取り去った場合、 おもりには保存力である重力とばねの弾性力のみがはたらくので、力学
的エネルギーは保存される。
0-mg-kx₁
よって
mg - [m]
(3) 自然の長さの位置を基準水平面とする(図5)。 はじ
めの位置と最下点での力学的エネルギー保存則より
0+0+0=0-mgx2+
100
0=-—-kx (x₂-2mg)
0皿
2mg
k
0より
[m]
(4) 台をゆっくりおろしていく場合は、おもりを支え
る力によって負の仕事をされ力学的エネルギーが
減少するが, 台を急に取り去った場合は力学的エ
ネルギーが保存されるため。
-xcos 0
自然の
長さ
2.0
第5章■仕事と力学的エネルギー
ばねの
0
はじめ
水平面
図b
mg
解答 (1) 力Fが物体にした仕事を W [J] とす F(N) 4
ると, F-x 図の面積より
18.0
W=
(2.0+8.0)×10
2
cos0=0.80 であるから
W=40J
10
(2) x=10mでの物体の速さを [m/s] とすると, 物体の運動エネルギー
の変化は、物体にされた仕事に等しいので「1/12m-1/2m
-mv² =W₁ よ
り
1/23×2.0 × -/1/3×2.0×3.0°=40
Cheeeeeeeeee
よってv=7.0m/s
最下点
ここがポイント
力の大きさが変化するので 「W=Fxcose」 の式にFの値を代入することはできない。 力Fの分力
Fcos0 のみが仕事をするので, (F-x 図の面積) × cos0 が F のした仕事となる。
また、物体の運動エネルギーの変化 = 物体にされた仕事の関係が成りたつ。
51
「ゆっくり」 とは 「力のつ
りあいを保ちながら」という
ことである。
2 (2)の結果と比べると2
信伸びていることがわかる。
したがって, おもりはつりあ
いの位置を中心に はじめの
位置を最上点, ばねの伸び
の位置を最下点として振動す
る。
@__mv²+W=
2mo
(はじめ+仕事終わり)
を用いてもよい。