第1節 複素数平面
17
1の3乗根
nを自然数とするとき, 方程式 z"=1 を満たす複素数zを, 1のn乗根
という。
1の3乗根,すなわち, z°=1 の解をド·モアブルの定理を用いて求め
てみよう。
5
ス=r(cos0+isin0)(r>0, 0K0<2元)
2ーr(cos 30+isin36)
の
5
とおくと,
ー1 であるから,
*(cos 30+isin30)=cos0+isin0
1=cos 0+isin0
両辺の絶対値と偏角を比較すると,
7=1 で, r>0より,
10
ア=1
30=0+2k元(kは整数)より,
2k元
0=
3
10
0S0<2π となるたの値は0, 1, 2であるから, ①より求める解を,
2k元
+isin
3
2kて
3
(%D0, 1, 2)
Z=COS
とすると,
20=COs0+isin0=1
15
ュー ー
os 小ォtisin 2ェーニ1+/3
15
21=COsェ十isin号
2
3+isin ェ=-1-/3i
2
4
22=COS
4
この z0, Z1, Z2が1の3乗根である。
20
上で得られた1の3乗根
21
-1+/3i
-1-V3i
2
Zo=1, Z1=
2,2ュー
2
20
Zo
-1
4
10
1
x
の表す点は,右の図のように, 単位円に内接す
る正三角形の3つの頂点になっている。
22
-1
25
複素数平面