重要 例題282 共通部分の体積
両側に無限に伸びた直円柱で,切り口圈
が半径aの円になっているものが2
つある。いま、これらの直円柱は中心
軸がこの角をなすように交わってい
ITS OTS
るとする。 交わっている部分(共通部
分) の体積を求めよ。 [類 日本女子大]
基本 270,271
解答
2つの中心軸が作る平面からの距離がxで
ある平面で切った断面を考える。
π
4
幅2√²-x2の帯が角- で交わっている
から, その共通部分は1辺の長さが
2√a²-x² √2= 2√2 √a²-x²
DAILHO
指針▷ 重要例題 281 と同様に立体のようすはイメージしにくいので,断面を考える。
①立体の体積 断面積をつかむ
のひし形である。
切断面のひし形の面積は
2√2 √a²-x².2√√√a²-x²
ここでは,中心軸が作る平面からの距離がxである平面で切った断面を考える。 直円柱は,
その中心線と平行な平面で切ったとき, 断面は幅が一定の帯になる。 したがって, 帯が重
なっている部分の断面積を考える。
= 4√2(a²-x²)
よって,求める体積をVとすると,対称性から
V=24√2(a²-x²)dx
a
中心軸
= 8√2 [a²x-3²]
16√/2
3
1
-a³
A₂+AO-50
(0≤x≤1)
(6.0/C₁1)²+
HOT
000
T.
Oh 最
2√a²-x²
方向に α (0<a<1) だけ平行移動したものをDとする
a
EISEN
(1000134
真横から見た図
a
("s³d + "(1−1)³n)x=(1/2
IN G
**** 1b (²4²8 +² (1-1) ²D) 27 = \\
x
459
練習
THE
4点(0,0,0),(1,000,1,0),(0, 0, 1) を頂点とする三角錐を C, 4点
282 (0, 0, 0),(-1, 0, 0) (0, 1,0),(0, 0, 1)を頂点とする三角錐をx軸の正の
空
[類 千葉大 ]
の体積V(α) を求めよ。 また, V(α) が最大になると
8章
瞳 40 体積