この熱伝導方程式を教えてください。答えは下にあります。

フーリエ級数とフーリエ変換一 SII2 元x (0<x<2) °u 偏微分方程式 =3- dt? dx? 3°u を,次の条件のもとで解け (0<xハ4,tZ0)。 境界条件:u(0, t) =D0, u(4, t) =0 (20) く 初期条件:u(x, 0) = sin zx, 1a,80 (x. -u(x,0)%3D0 (0<xハ4) dt (ヒント:u=xt とおくと, x"+Ax=0, t"+3At=0 NT となる。) 4 この偏微分方程式は波動方程式と呼ばれる。 () をさ (3:3.c) J (ac) ール 13 チェック項目 Yes口 No口 熱伝導方程式や波動方程式を変数分離形で解くことができる。 1. u(x,t)= 2e3xt sin Tx-e-12r"t sin 2元x 2. u(x,t)= cos/3元t sin 元x の(税at) 2 演習の答

この写真の赤線で引いてあるところがわかりません、具体的には、 １本目はX=Ax＋Bで、X(0)＝０なんだからB＝０ではないのか？なぜA＝B＝０なんですか？ 2本目は理解できました、X＝Ae^√−λx＋Be^-√−λxで、X(0)＝０だから０＝A+Bで、これはA=B=0でない... 続きを読む

と変数以上の関数について,その偏微分を含んだ微分方程式を偏微分方程式という。 特に次の偏微分方程式 °u du =c? dr? (c>0) at を熱伝導方程式という。 要点1 du 熱伝導方程式 c? at °u (c>0) は,解をu = X(x)T)とおいて解くことがで dx? きる。この方法を変数分離法という。 (1)u=X(x) T()を式(13.5.1) に代入して整理すると, 解説 T(t) c°T(t) X"(x) X(x) (13.5.2) となる。この左辺はtだけの関数であり, 右辺はxだけの関数である。したがって, 式(13.5,2) の両辺はある定数に等しい。そこで, この定数を一とおく。よって,式(13.4.1)は2つの方程式 X"+入X=0 (13.5.3) T'+AC°T=0 に分解する。この2つの方程式を解いて, u=X(x)T()とおけば, 解が得られる。 (2)ここで,微分方程式 X"+AX=0に, X(0) = 0, X(L) =D 0という境界条件が与えられていたとし よう。 もし入=0ならば, X=Ax+B (A, Bは任意定数) と表されるので,、境界条件からA=B=0とな 2-V-Ax と表されるので, これも境界条件からA=B=0と V-Ax る。え<0のときも, X=Ae' + Be なる。したがって, 入>0を仮定できる。 33 え>0のときの解は, X=AcosV入x+BsinV入xである。さらに, 境界条件x(0) = 0なので, A=0である。よって, X=BsinVAxである。さらに境界条件X(L) =D0より, Bsin L、入 = 0 1 を得る。B=0ならばXは恒等的に0となるので, B+0である。よって, sin L入 = 0 である。したがって, LA 入=[ (n=1,2,…) = Nπ, すなわち L P2

微分方程式の級数解を求める問題なのですが、 係数を比較した後からが分からなくて、 困っています。 教えていただけないでしょうか？

微分方程式 y"+ xy' + y = 0 の級数解を求めよ。

微分方程式の問題です。 この2問が分からなくて困っています。 どのように解くか教えてもらえないでしょうか。 よろしくお願いします。

1. 微分方程式 xy' +y= x(1-x?) を解け。 2. 微分方程式 y"+ xy' + y= 0 の級数解を求めよ。

微分方程式の質問です。言われた通りxを代入して右辺と左辺を比較して解こうと思ったのですがうまくいきませんでした。どうすれば特殊解を求められるか教えていただきたいです。

微分方程式 + 2h+px= sin qt dt2 dt について以下の間いに答えよ. 途中経過も含めて解答すること、 ただし, x はt の関数であり, h, p, qは正の定数, h<pとする。 (1) x=asinqt +bcosqt と置くことにより, (A)の特殊解を求めよ。 ただし, a, bは実数の定数である。 3

「物質 Aと物質Bが反応して、物質Cが生成される状況を考える。ただし、AとBがそれぞれ 1mg反応したとき、Cが1mg生成されるとする。そして、時刻tにおけるCの質量をQ(t) とし、 Q(t) の変化率はAとBの反応していない質量に比例すると仮定し、Aの全質量をα、Bの全... 続きを読む

「ある室内において、単位時間当たり一定量Wの二酸化炭素が発生し、空気の給排気を行なう。このとき、給気される空気中にすでに含まれている二酸化炭素の濃度をKo、時刻t における室内の空気中の二酸化炭素の濃度をK=K(t)とし、 微小時間Δtの後に、二酸化炭素の濃度がK+ΔKにな... 続きを読む

大学数学の問題です。SIRモデルを題材にした微分方程式です。連立微分方程式で解こうと考え、固有値から固有ベクトルを求めようとしましたが綺麗な値にならず、間違っているように感じました。考え方から回答例まで教えていただきたいです。

問題 14. ある感染病Aに対する SIR モデル d.s -BS(t)I(t) ニ dt dI BS(t)I(t) - っI(t) ニ dt dR 1(t) ニ dt を考える。ここで, S(t)は感染可能者, I(t) は感染者, R(t)は除外者である. また, ある町の人口を Nとすれば, N= S(t)+I(t) + R(t) が成り立つとする. そして, s(t) = S(t)/N, i(t) = I(t)/N, r(t) = R(t)/N としたモデル ds ニ dt 1 -i(t) :0 50 di 1 ニ dt dr 1 i(t) 50 ニ dt を考える。 さて, N= 1000 とするとき, 感染病 Aが拡大しないようにするには,少なくとも何人にワクチン接種をしなけ ればならないか?ただし, ワクチンの効果は 90%(ワクチンを接種すれば 10人中9人は感染しない)とし, 初期 感染者は 19名,初期除外者は0名,ワクチン接種は感染可能者のみに行うものとする.(8点) (解答欄:必ず途中式や理由などを記載すること) N=100 基本理産激が121大きとき感染者は増にするをめ、 これが 1さり小さくなるとよい。 VC)をつクチン緒の数だとすると. ds s -) icは) - dt 14 AV At。 271 190 こ Io sCt) 13

画像の問題の（2）が分からず困っています。 電流についての微分方程式を立てラプラス変換をしようと考えたのですが、電流の第一初期値が0であるため変換後の式を整理するとI=0となってしまいます。 どなたか教えて頂きたいです。

図1の回路で,時刻=0 で Swi, Swzを同時に閉じる。各 Sw を閉じる前(t< 0)の各キャパシ タ C, C;(C+C)の初期電荷 q/(0 ), qd0-)の極性は図示のとおりで,その値は, かつg(0.)#9,(0.)+0 C。 C であるものとする。以下の設問に答えよ。 (1) Swを閉じた直後のキャパシタ C2の電荷 q2(0-) [C]を求めよ。 (2) 抵抗Rに流れる電流;の正方向を図示の方向として,Swを閉じた後の電流の時間応答 i(1)[A]をラプラス変換で求めよ。 Sw」 t=0 t=0 Sw2 i) +9(0) C キ C. R イ 図1

　リヤプノフ関数を用いた微分方程式系の安定性解析について勉強をしています。 写真の問題のうち、問23.1の(1)及び問23.2の(3)の解き方が分からないので教えて頂けますと幸いです。原点が中心、半径がルート3の円が不変集合になる理由も併せてお願い頂けるとありがたいです。よ... 続きを読む

23. リヤプノフ関数と安定性* 108 間 23.2 微分方程式系 dy =ーC dt (12) da =リー(=/3-2), (μ は負定数) dt について,次の間いに答えよ。 (1) V(r,g) = (z° +y°)/2 とする. このとき V12) (z,4) を求めよ。 (Ans. -μ(z°/3 -1)a?) (2) (12) の平衡点 (0,0) は安定であることを示せ。 (3) [研究] 点 (o,Yo) が (2o)? + (yo)? <3 を満たすとする. このとき, (zo,10) を通る解はt→8とすると (0,0) に収束することを示せ。 (ヒント. E={(0,9) : -0 <y < 8} であることに注意し, LaSalle の不変原理 と呼ばれる結果(下記参照) を適用する.) 【参考) RT 内の集合 Mは, 任意の co E Mに対し, zoを通る (2) の解が常に M に留まるな らば (2) に対する不変集合と呼ばれる。 LaSalle の不変原理 V(z) (zE S) は (2) のリヤプノフ関数とする. このとき, S 内に留まる(2) の有界解は, t→ o とするとき E:={ueS:Vg)(z) =D 0} に含まれ る(2) の最大不変集合に近づく