れることから
同様のことを使う例をやってお
50
C
例
すべての正の整数nについて nnは5の倍数であることを
-
【例
(1)
示せ。
極的法とか。で割った余りで分類するなど、いろんな方法があります。
ここでは上のことを利用します。
《解答》nnnn4-1)=n(n2-1)(n2+1)
=(n-1)n(n+1)(n2 + 1)
=(n-1)n(n+1){(n2-4) +5}
ここでn-2,n-1,n,n+1,n+2のいずれかは5の倍数だから, n-
= (n-2)(n-1)n(n+1)(n + 2) + 5(n-1)n(n+1)
は5の倍数である.
2. 一般に,
連続するn 個の整数の積はn! の倍数である
が成り立ちます。 直接の証明はやりにくいので,二項係数 (組合せの数だか
らもちろん自然数) を用いると, kが正の整数のとき
k(k + 1)..... (k+n-1) (n+k-1)!
n!
=
n!(k-1)!
=n+k-1Cn=(整数)
となり,k(k + 1)……… (k+n-1) はn! で割り切れます. -(n-1)≦k≦0
のときはk(k + 1)... (k+n-1)=0だからあたりまえで (倍数の定義に
より0は任意の整数の倍数です), k-nのときは,(-1)” をかけてすべて
正にしておくとk0の場合に帰着されます。 Q.8-
これを利用すると,上の例題ではもっと強い主張 「nnは30の倍数で
ある」ことがわかります.
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(2)
《解
のたの
な