(IV) 実数は?
いままで, 方程式の解として, 自然数から整数, 整数から有理数へと拡張してきた。では同様にして,
実数を定義することはできるだろうか? 例えば, 2次多項式2=2の解はV2, -v2 であり、無理数
となる.では,有理数の係数, 0, a1,・・ ,an∈Qに対して, 多項式方程式
anxn+an-1xn-1+. +ax+ao = 0
を満たす解は実数全てを取りうるだろうか? 答はNO! である.
例えば, 円周率 ヶやネイピア数eはどんな多項式方程式 anz” + an-1xn-1 +...+ax+ao = 0 の解
とは成り得ない。 このような無理数を超越数と呼ぶ.つまり,実数は代数的方程式の解として拡張され
た数として表せない数なのである. では,どの様に実数の集合は定義したらよいのだろうか?