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問題
1. 長さ ru のひもの先端に、質量のおもりを結ん
で滑らかな水平面上で速さ 2 の円運動をさせ
た。 その後、 ひもを円の中心方向に非常にゆっく
りと引っ張って、長さを ro/7 にした。 このことに
ついて、 下記の問いに答えなさい。
(a) この過程を通じて、 おもりの角運動量は保存
することを示せ。
1点
(b) ひもの長さr が ro≧r ≧ro/7 のときの、 お
もりの速さと、 ひもがおもりを引く力の大
きさ F を求めよ。
2点
(c) ひもの長さが ru から ro/7に変化したときの
おもりの運動エネルギーの変化量を求めよ。
・・・1点
(d) ひもがおもりになした仕事を計算し、 おもり
の運動エネルギーが増加した理由を説明せよ。
2点
2. 質量が M, 半径が α、 高さ (厚さ) がもの一様な
剛体円柱を考える。 それが、 仰角 6 の斜面を滑ら
ずに転げ落ちる運動を考える。 剛体の重心は、常
に一つの平面内を運動し、 回転軸は常にこの平面
に垂直であるとする。 2-18 図に示したように、 重
心が運動する平面を ry平面にとって、重心の座
標を (2G, YG) とする。 また、円柱が斜面から受け
る摩擦力の大きさをF、 垂直抗力の大きさをRと
する｡
Mg
R
2-18 図 斜面を転落する円板
(a) (rg, yg) が満たすべき運動方程式を記しなさ
い。... 1点
(b) 回転軸周りの力のモーメントの大きさNを
求めなさい。 ... 1点
(c) 回転軸周りの円柱の慣性モーメント Ⅰ を求め
なさい。... 1点
(d) 剛体の回転角をとして､心が満たすべき回
転の運動方程式を記しなさい。 ... 1点
(e) 滑らないで転げ落ちるための条件式を記しな
さい｡
...1点
(f) F が満たすべき方程式を記しなさい。・・・
1点
(g) IGが満たすべき運動方程式を記しなさい。...
1点
3. 上記の運動の初期条件を次式で与えるとして､ 下
記の問いに答えなさい。
t=0のとき、 πc (0)=L, Uc(0)= =0
drG
dt
(a) 任意の時刻における v(t) と rc (t) を求
めなさい。... 2点
(b) ro(t)=10Lのとき、 をLで表せ。... 1点
(c) このときの位置エネルギーの減少量Uを求め
なさい。 ... 1点
(d) このときの重心の運動エネルギー KG を求め
なさい。... 1点
(e) このときの回転エネルギー Krot を求めなさ
|1点
い。
(f) この運動に関してエネルギー保存則は成り立
っているかどうか論じなさい。
･･･1点
(g) 円柱の外枠の質量は無視できるとして、円柱
の中身が質量 M の液体で満たされている場
合を考える。 外枠と液体の間の摩擦が無視で
きる場合は、液体は回転せずに滑り落ちると
考えられる。 中身が液体の場合と固体の場合
について、 落下速度がどうなるかについて、
エネルギー保存則と照らし合わせて論じなさ
1点
