Question

ゲスト

内心が重心に一致するような三角形は、正三角形であることを証明せよ。この質問を解説してほしいです🙌

Answer 1

LUX SIT

まず三角形の内心と重心の定義が何なのか分かっていないといけません[五心の定義と存在証明はしっかり理解してほしいです].
三角形の各内角の二等分線が1点で交わってその点を内心という.
三角形の3つの中線は1点で交わって, その点を重心という.
***
△ABCの内心であり重心である点をOとする. またBCの中点をDとする[自分で図を書きましょう].
ここで内心と重心が一致するから点A, O, Dがこの順に一直線上にあることに注意する.
まずBD=CD, また内心の定義から∠BAD=∠CADがいえる.
したがって△ABCの角の二等分線と辺の比の関係から
AB:AC=BD:CD=1:1⇔AB=AC
他の頂点についてもAC=CB, AB=BCがいえて, AB=BC=CA.
これは正三角形である.