✨ ベストアンサー ✨
2を満たすKが存在しないようなθの範囲を求めよ、という問題です。
1枚目の最後、黒字のKi>μ0mgは、という部分は無視してください。赤字と被っているので。、
失礼しました。
逆関数の表し方以外で最後の答え表せないのですか？
すみません、高校生だったのですね。
例えば、μ0が1や√3など、角とタンジェントとの対応が瞬時にわかるものであれば、
tanθ=1→θ=π/4やtanθ=√3→θ=π/3
のように、角に直すことができますが、一般には、逆三角関数を使わないと表現できません。（ここではμ0は具体的な値でなく、与えられた定数なので、一般的に扱う必要があります。）
ただ、高校生は逆三角関数など知らない、という前提で要求するのであれば、
tanα=1/μ0 （0<α<π/2）と定めて、θの範囲を
α≦θ<π/2
と表すのを求めていると捉えて良いと思います。
補足
大学生に対しては、角度θの範囲を求めさせる、というのはよく見るのですが、高校生に対しては、tanθの範囲を求めさせることの方が多いと思います。
ありがとうございます。
この問題、θが90度以上の時は考えなくていいのですか？
おそらく、0≦θ≦π/2の範囲で十分だと思います。
理由としては、θ>π/2のとき、外力Kのy成分が正となり、Kを大きくしたときにそのy成分が重力よりも大きくなればKは床から浮いてしまい、滑り出すか否かの議論ができなくなってしまいます。
問題文を読む限り、そこまで考える必要があるような示唆は見られないので、物体が床の上で運動する範囲を考えて良いと思います。
また、θ<0についてですが、ここでは床は水平で、対称性により、θ>0での範囲をθ＝0に関して対称な不等式を用いてやれば良いので、議論する必要はありません。
図を見る限り、θを90°以上（もちろん0<θ<180°）にしてもy成分は負だと思うんですが…？
説明不足でした。
直線もしくは線分どうしのなす角とは異なり、「平面とベクトル」のなす角であることに注意してください。
おそらく、数学でも物理でも平面とベクトルのなす角については議論されていないと思います。
正確には大学以降、ベクトル解析という数学を学ぶ際、もしくはきちんと電磁気学を学ぶ際に扱うと思います。
しかし、電磁気学をきちんと理解するためにはこのように扱うことについても知っておく必要があります。
ここでは、ベクトルKが水平面に対し、y軸負の方向であるとき、θは0≦θ<π/2であり、水平面内から出ないとき、θ＝0であり、y軸正方向であるとき、π/2<θ≦πとなります。
補足というほどでもありませんが、実際は水平面が空間的な広がりを持っていることと、仮に、写真で示したように、水平面となす角が等しくても、向きの異なるベクトルについて、その角を異なるように定義する場合、「異なる2つの回転軸に対する角度」を定める必要がある、ということに注意してください。
例えば座標空間で、角度で向きを指定する際は、xy平面上での回転角（z軸周り）と、z軸からの回転角のように、2つの角度を定める必要があります。これは、数学IIIで学ぶ2次元の極座標を3次元に拡張することであり、意味としては、大学一年生でも扱える簡単な内容ですが、数学的な処理は非常に面倒くさくなります。
よければ参考にしてください。途中でボールペンが息を引き取ったので、濃淡の差が激しいですが。
なお、θの範囲をこのような一般論で求める場合は逆三角関数を用いることが多いです。