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教科書にも載ってる重要な問題なので何も見ずに照明が書けるレベルになっておきましょう。
この問題を解くには、
・背理法の使い方
・有理数、無理数の定義
・互いに素とは何か
を主に理解していれば解けると思います。
回答
回答
√3が有理数と仮定します。
有理数ということは互いに素な数p,qで
√3=p/q
と表すことができます。
二乗して変形すると
3q^2=p^2
と表すことができ、左辺が三の倍数であるからp^2は3の倍数。よってpは3の倍数。
p=3kと置くと
3q^2=9k^2
となる。するとq^2は3の倍数、つまりqも3の倍数となるためp,qは互いに素ではない。
よって√3は有理数でないから無理数である。
背理法は求めたい命題が成り立たないことを仮定します。そしてその命題が偽であるなら元の命題が真であると証明します。
この問題では√3が無理数ということを求めたいので√3は有理数だと仮定します。
有理数は互いに素(公約数が1のみ)の2つの整数の分数で表すことができるため、=で置きます。そして二乗して解くと上記のようにおかしなところが出てくるので仮定を否定できます。
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