例えばα,βという2つの解をもつ2次方程式は必ず(x-α)(x-β)という形で表せるはずです。(x-3)(x-5)=0となったときx=3,5が答えになることの逆を行っているだけです。
しかし、例えば2次方程式x^2-6x+9=0の解はと言われれば(x-3)^2=0となるのでx=3のみとなります。(x-3)^2は実質(x-3)(x-3)のことなので、(x-α)(x-β)の形で2解αとβがたまたま重なったと見ることができます。このような場合を重解といいます。したがって解を1つしか持たないということは、解をαとしたときに(x-α)^2と表せるということです。
(x-α)^2は展開により
x^2-2αx+α^2と表されます。x^2+ax+64と定数部分を比較してα^2=64となります。α=±8です。
xの1次項を比較して-2α=aとなるためα=±8を代入しa=±16です。
ありがとうございます！
【補足】高校1年生で習うこと
中学で習うように2次方程式の解はどんなものであろうと解の公式
-b±√(b^2-4ac)
x=------------------------
2a
で表せます。
D=b^2-4acとします。
中学範囲においては√の中のDは必ず0以上でなければならないということになっているので√の中身D< 0ならば解を持たないことになります。D=0であれば±√Dの部分は±√0=0となるため2つの解は出てきません。Dが正の値になれば、±√Dの部分で±違いによって解は2つ出てくることになります。
何が言いたいかというとD=b^2-4acの符号によって、その方程式が解をいくつ持つかが決まるということで、Dのことを2次方程式ax^2+bx+c=0の判別式(解の数を判別する式ということ)といいます。今回の問題では、判別式Dはa^2-64となるためD=0を解けばa=±8です。
また、高校では2次関数y=ax^2+bx+cを扱います。これは、y=ax^2の形はそのままに頂点が原点とは限らない、y=ax^2を平行移動したものです。1次関数の交点が1次の連立方程式を解くことにより求まったことと同様に、ax^2+bx+c=0を解くことは2次関数y=ax^2+bx+cとy=0(すなわちx軸)の交点のx座標を求めていることと同じことです。だからDの符号は、2次関数とx軸の交点の数も教えてくれるとても便利なものです。