Question

＊美桜菜＊

三角形OTSが二等辺三角形だからPT=PS
って言えれば証明できると思うんですが、
どうしたらいいか分かりません…😭

46. 右の図のように, 円Oて直線7があぁ
り, 中心Oから直線 7へ垂線 OP をひく。
点P を通る直線が円Oと2点Q, Rで交
わり, そのQ, R における円 O の接線と
直線7 との交点をそれぞれS, T とする。
このとき, へOQS主人へORT であることを
証明せよ。

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Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

確かに難しい問題ではありますね。僕もパッとみた感じでは解けなくて手を動かして3分くらいかかって解けた感じでした。
まあ、とりあえずOQ=ORはわかると思います。そして、円の接線なので∠OQS=∠ORT=90度はわかると思います。
ここまでできたら残る2角か2辺のどれかが等しいことを示すことができれば(直角)三角形の合同条件を使えるのでゴールです。
ここで手がとまるかもしれませんが、考えるべきこととしてはまだ使ってない条件は何かです。まだ∠OPS(∠OPT)=90度を使っていません。ここからは発想ができるかどうかの経験と実力みたいなことにはなりますが、直角が2つできているということは、実は4点OQPSは同一円周上にあります。また4点OPTRも同一円周上にあります。2枚目の写真を見てもらえれば実際そうなっています。あとは、この補助円を書いてやれば円周角の定理が使えるのでゴールです。

ブドウくん

きちんとした証明を書くとこんな感じになると思います。図が複雑になってめんどくさいですが、ひとつひとつ処理していきましょう。

＊美桜菜＊

なるほど！
作図までしていただいて…
ご丁寧にありがとうございます！！
分かりやすかったです✨

＊美桜菜＊

すみません…💦

証明の最後、直角三角形の斜辺と１つの鋭角が
それぞれ等しいって書かれてますが、
斜辺が等しいって証明できますか…？

私は角ROT=角QOSで1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいを使うと思ったのですが、それでも
大丈夫ですか？？

ブドウくん

どうやって角ROT=角QOSを示すのでしょうか。それが正しければあっていますよ。

＊美桜菜＊

三角形OQSにおいて
角ROT=180-90-角OTR

三角形ORTにおいて
角QOS=180-90-角OSQ

角OTR=角OSQなので
角ROT=QOSが言えると思いました

ブドウくん

角OTR=OSQが言えてる時点で、直角三角形の合同条件、斜辺と1組の鋭角が使えるのでそれをする意味はわからないですけど、やろうと思えばできると思います。

＊美桜菜＊

ありがとうございます！