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1.
根與係數：有一方程式 ax^2 +bx +c = 0，其兩根分別為α、β，則
(1) α + β = -b/a
(2) αβ = c/a
證明直接用公式解代入硬算即可。
3x^2 -(2+k)x +(k-1) = 0，兩根相差 3 => α - β = 3
其中 α + β = (2+k)/3、αβ = (k-1)/3
(α - β)^2 = (α + β)^2 -4αβ
9 = (k^2 +4k +4)/9 - (4k-4)/3
k^2 +4k +4 -12k +12 = 81
k^2 -8k -65 = 0
(k -13)(k +5) = 0
k = 13 or -5
2.
x^2 +(2k-6)x +k^2 -8k -13 = 0 有整數解
公式解 x = -(2k-6)±√D / 2
(1) -(2k-6) 無論 k 值為多少恆為偶數，與分母的 2 相除之後恆為整數，故這部分可以不用看。
(2) D = (2k-6)^2 -4(k^2 -8k -13)
= 4k^2 -24k +36 -4k^2 +32k +52
= 8k+88
=> √8k+88 必須是 0 或某個整數的平方，且必為正數，負數不能開根號。開根號後才會是整數。
已知 30 < k < 40
=> 328 < 8k+88 < 408 ，從中找出某個整數的平方
18^2 = 324 ... 不夠
19^2 = 361 ... 可以試看看
20^2 = 400 ... 可以試看看
21^2 = 441 ... 超過了
若 8k+88 = 361 => 8k = 273 => 無法整除 ...(X)
若 8k+88 = 400 => 8k = 312 => k = 39 可以整除 ...(O)
蟹蟹你🥺