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誘導からすると(1)は判別式で解いて欲しいのだと思います.
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2次方程式の解の公式x={-b±√(b^2-4ac)}/2aの平方根の中身が0ならばx=-b/2aと解が一つになります.
判別式の由来がそこだということをしっかり押さえましょう.
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(1)条件を満たすためには①の判別式D={-(a+4)}^2-4*1*{-(a+5)}=0であればよい.
これを解くと(a+4)^2+4(a+5)=0⇔a^2+12a+36=0⇔(a+6)^2=0⇔a=-6.
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文字式を含めた因数分解が苦手なようですね. 1次式をまとめて見るということ以外は実数の場合と変わりません.
考えられる候補としては1, -(a+5)か-1, (a+5)です. 和が-(a+4)になるのは前者なので
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(2)(x+1){x-(a+5)}=0
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これから解はx=-1, (a+5)と決まります. この因数分解に気付いていれば(1)を
a+5=-1⇔a=6であれば重解になる. として解くことが出来ます.
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最後は不等式の絡んだ整数問題です. これは慣れていないと難しいと思います.
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(3)共通解が-1のとき, (-1)^2-a(-1)+2b=0⇔2b=-(a+1)である必要がある.
ここでaが負の整数, すなわちa≦-1ならば, 2b=-(a+1)≧-(-1+1)=0⇔b≧0なので条件を満たすことは出来ない.
共通解がa+5のとき, (a+5)^2-a(a+5)+2b=0⇔2b=-5(a+5)⇔b=-(5/2)(a+5)
bが整数になるためにはa+5が偶数, すなわちaが奇数である必要がある.
また条件から-1≧a>b[負の整数は-1以下]なので
b=-(5/2)(a+5)≦-1⇔5a+25≧2⇔a≧-23/5>-5
a>b⇔a>-(5/2)(a+5)⇔2a>-5a-25⇔7a>-25⇔a>-25/7>-4
共通部分をとるとaは-4<a≦-1の範囲にある奇数であることが分かる.
a=-1ならばb=-10, a=-3ならばb=-5でいずれも条件を満たす.
(a,b)=(-1,-10),(-3,-5).
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[確認]
a=-1, b=-10のとき
x^2-3x-4=0⇔(x-4)(x+1)=0⇔x=-1, 4
x^2+x-20=0⇔(x+5)(x-4)=0⇔x=-5, 4
で共通解は4.
a=-3, b=-5のとき
x^2-x-2=0⇔(x-2)(x+1)=0⇔x=-1, 2
x^2+3x-10⇔(x+5)(x-2)=0⇔x=-5, 2
で共通解は2.
回答ありがとうございます！！
[コメント]
-1≧a>b⇔-1≧aかつa>b
なので
b=-(5/2)(a+5)≦-1⇔5a+25≧2⇔a≧-23/5>-5[条件として弱い]
を考える必要はありません.