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各点収束することの証明ですか？
一様収束しないことの証明ですか？
各店収束ということは
∀x∈(-∞,∞), ∀ε>0, ∃N∈ℕ s.t. ∀n≧N, |fn(x)-f(x)|<ε
を示せばいいですね
(i)x=0のとき
これは画像の通りでいいと思います
∀ε>0 に対して N=1 とすれば、n≧N のとき
|fn(0)-f(0)|=|1-1|=0<ε
(ii)x≠0のとき
∀ε>0 に対してアルキメデスの原理より
∃N∈ℕ s.t. nx²>1/ε
このような自然数N(≧1)を一つとる
二項定理より、n≧1のとき
(1+x²)ⁿ=1+nx²+...
>nx²
よって、n≧N のとき
|fn(x)-f(x)|=|1/(1+x²)ⁿ-0|
=1/(1+x²)ⁿ
<1/nx²
≦1/Nx²
<ε
以上より、{fn(x)}はf(x)に各点収束する ◻︎
一様収束の方は、それだとちょっと言葉が足りないですね
「連続関数列の一様収束極限は連続関数である」という定理を認めれば、各fn(x)は連続関数で、f(x)が不連続であることから一様収束でないことが従います
・N＝1とする部分
・アルキメデスの原理よりnx^2＞1/ε
・各点収束する、、の2行上、≦1/Nx^2が必要な理由と、これがεより小さい理由
一様収束について確認し直したのですが、一様収束するとき一様収束極限が連続関数になるのですよね？連続でないから一様収束でないと言ってしまって大丈夫なのでしょうか？
以上の4つがよく分からないです。
すみませんが、よろしくお願いします。
<一つめ>
|fn(0)-f(0)|<ε はいつでも成り立つので、実際にはNは何でもいいです。ε-Nの定義に添うなら何かしらNを与えなければいけないため、とりあえずN=1にしました
<二つめ>
ちょっと誤字がありますね
∃N∈ℕ s.t. Nx²>1/ε
が正しいです(Nが小文字になってました)
アルキメデスの原理はいくつかの述べ方がありますが、およそ
∀M∈ℝ, ∃N∈ℕ s.t. N>M
∀a,b>0, ∃N∈ℕ s.t. aN>b
のどちらかの形で書かれることが多いかと思います。２つの命題は同値なのでどちらの形でもよく使われます。今回は下の形を採用してa=x², b=1/ε に適用しました
<三つめ>
上記の誤字のせいで混乱させてしまったかもしれません。今分かっているのは
Nx²>1/ε
だけなので、nからNの話へと帰着させるために1/Nx²を挟んでいます。両辺が正であることに注意して逆数をとると
1/Nx²<ε
が従います
<四つめ>
元の関数列の中に不連続な関数が混ざっていたら一様収束先も連続とは限りません。例えば、さっき出てきた不連続関数f(x)を用いて
g₁(x)=g₂(x)=g₃(x)=...=...=f(x)
と定義すれば、関数列{gn(x)}は不連続関数f(x)に一様収束します
元の関数列{fn(x)}が全て連続関数であることが重要です
見やすく丁寧に答えて頂きありがとうございます。
4つ目以外は大丈夫そうです、もう一度解きながら確認してみます！
4つ目に関しては聞き方が悪かったかもしれないです、申し訳ないです。
関数列が一様収束
⇒連続関数列の一様収束極限は連続である
という定理ですよね？
連続関数列の一様収束極限が連続でないことから一様収束しないと言えることが分からないです。
そもそも、確認なのですが一様収束極限とはf(x)のことで合っていますか？
初歩的なことからですみません。
よろしくお願いします。
なるほど、そういうことでしたか
一様収束極限はf(x)のことを指しています。収束する関数列の収束先のことを言っていました。
ここは対偶を考えています
{fn(x)}が連続関数列であるとき、
{fn(x)}がf(x)に一様収束 ⇒ f(x)は連続関数
が成り立つので、対偶を取った
f(x)が不連続関数 ⇒ {fn(x)}はf(x)に一様収束しない
が成り立つのです
いえいえ(｀・ω・´)
各点収束ですね。
一様収束に関しては0と1になることから一様収束しないと言って大丈夫ですよね？
不十分であればこちらもお願いしたいです。